Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

Определение и формула основного уравнения молекулярно-кинетической теории

Изучать процессы, которые протекают в больших системах весьма сложно из за огромного числа частиц и их малых размеров. Рассмотреть отдельно каждую частицу практически невозможно, вводятся статистические величины: средняя скорость частиц, их концентрация, масса частицы. Возникает необходимость, установления математической связи (уравнения) между микро параметрами, которые относят к отдельным частицам (масса молекулы, ее скорость и т.д.) и макро параметрами описывающими систему в целом (температура, давление) Формула, характеризующая состояние системы с учетом микроскопических и макроскопических параметров, называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов (МКТ).

Естественно, что проще всего устанавливается такая связь на простейшей модели — идеальном газе. В газе молекулы совершают свободное (изолированное от других молекул) движение, лишь время от времени сталкиваясь друг с другом или со стенками сосуда. Было сделано предположение, что давление газа является результатом ударений молекул о стенки сосуда. В свою очередь, сила есть импульс, передаваемый от тела к телу в секунду. Значит, чтобы найти давление газа, нужно определить, какой импульс передаёт газ единице площади стенки сосуда в секунду.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

рис. 1.

Довольно простой расчет и основные положения молекулярно-кинетической теории позволяют получить уравнение, связывающее давление газа, если известны масса молекулы m_0, среднее значение скорости молекул \overline{v^2} и концентрацию молекул в газе n:

    \[p=\frac{1}{3}nm_0\overline{v^2} \quad (1)\]

это уравнение называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории.

Если мы обозначим среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул через \overline{E}, в таком случае уравнение (1) примет вид:

    \[p=\frac{2}{3}n\overline{E} \quad (2)\]

Средняя кинетическая энергия молекулы пpи равновесии идеального газа обладает одной очень важной особенностью: в смеси различных идеальных газов средняя кинетическая энергия молекулы для различных компонентов смеси одна и та же.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Считая воздух идеальным газом, определите скорость теплового движения молекул при нормальны условиях.
Решение Для решения поставленной задачи используем основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов:

    \[p=\frac{1}{3}nm_0\overline{v^2}\]

из определения плотности вещества:

    \[\rho =\frac{m}{V}\]

    \[m=m_0\cdot N\]

где N- число молекул воздуха

получаем:

    \[\rho =\frac{m_0N}{V}=m_0\cdot n\]

где по определению концентрации молекул вещества

    \[n=\frac{N}{V}\]

Переписываем основное уравнение молекулярно-кинетической теории в удобных для нас параметрах:

    \[p=\frac{1}{3}\rho \overline{v^2}\]

отсюда

    \[v=\sqrt{\frac{3p}{\rho }}\]

используем для расчета величины скорости теплового движения воздуха при нормальных условиях общеизвестную справочную информацию, так получим:

давление воздуха:

p=1 атм. = 1,013\cdot {10}^5Па

\rho =1,3 кг•м-3

расчет дает следующее:

    \[v=\sqrt{\frac{{3\cdot 10}^5}{1.3}}=480\ \frac{m}{c}\]

Ответ Скорость теплового движения молекул воздуха при нормальных условиях составляет 480 м/с
ПРИМЕР 2
Задание Имеется поток молекул массы m_0, летящих с одинаковой по модулю и направлению скоростью \overrightarrow{v}. Концентрация молекул в газе n. Найти:

а) число ударов молекул N за секунду о единицу поверхности плоской стенки, нормаль к которой образует угол \varphi с направлением \overrightarrow{v},

б) какова температура газа в этом потоке?

Решение Сделаем рисунок
Пример 1, основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

рис. 2.

1) Найдем число столкновений молекул о площадку с единичной площадью стенки в секунду, если скорость молекулы равна v_x=v\cos(\varphi ). Легко понять, что это число равно числу молекул с данной скоростью, находящихся в цилиндре с основанием в единицу площади и высотой, численно равной v_x (pис. 3.) В самом деле, молекулы вне данного цилиндра просто не попадут в течение секунды на заданную единицу площади стенки (или не долетят до стенки, или ударятся о стенку не в том месте).

Пример 2, основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

рис. 3.

Наоборот, все молекулы, попадающие в цилиндр, проходя за секунду путь, равный v_x, попадут на данную площадь стенки сосуда. Число молекул, обладающих заданной скоростью v_x и находящихся в единице объема газа, это n. Тогда число молекул, попадающих в цилиндр, или число молекул, ударяющихся о стенку со скоростью v_x, равно

    \[N=v_x\cdot n=nv\cos(\varphi )\]

2) Для решения поставленной задачи используем основное уравнение МКТ:

p=\frac{1}{3}nm_0\overline{v^2} и уравнение состояние идеального газа: p=nkT

из этих уравнений следует:

    \[nkT=\frac{1}{3}nm_0\overline{v^2}, T=\frac{m_0\overline{v^2}}{3k}\]

Ответ 1. Число ударов молекул N за секунду о единицу поверхности плоской стенки N=nv\cos\left(\varphi \right)

2. Температура в потоке газа T=\frac{m_0\overline{v^2}}{3k}

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.