Кинематические уравнения движения

Кинематические уравнения движения используются, чтобы описать перемещение объекта в пространстве. Так как при поступательном движении все точки объекта движутся одинаково, то его удобно представлять материальной точкой: она имеет определенную массу, однако её размерами можно пренебречь. Чтобы количественно описать движение точки, нужно ввести временную и пространственные координаты. При поступательном движении удобней всего пользоваться декартовой системой координат.

Положение такой точки в пространстве описывается радиус-вектором:

$\bar{r}=\bar{r}(t)$

Можно спроектировать его на оси координат, тогда получим систему скалярных уравнений. Эти уравнения и называют кинематическими уравнениями движения:

$\left\{\begin{array}{l} {x=x(t) } \\ {y=y(t) } \\ {z=z(t) } \end{array}\right$

Характеристики кинематического уравнения движения

Длина пути точки, пройденного ею с начального момента до момента t, обозначается $\Delta s$ и является скалярной величиной. Если движение прямолинейное, то вектор перемещения $\overline{\Delta r}$ , соединяющий начальное и конечное положение точки, совпадает с путем точки, $\left|\overline{\Delta r}\right|=\Delta s$ . Если же движение криволинейное, $\left|\overline{\Delta r}\right|$ обычно находят с помощью геометрических построений.

Длина пути, пройденная точкой за конечное время t, может быть найдена с помощью формулы:

$s=\int _0^{t}vdt = v_0 t+\frac{at ^2 }{2}$

Здесь v – функция изменения скорости точки во времени, $v_0$ — начальная скорость, а – ускорение, t – время.

Если движение равномерное, то есть скорость остается неизменной, пройденный путь можно найти проще:

$s=vt$

Скорость – величина векторная; она характеризует не только быстроту движения точки, но и направление этого движения. Она направлена так же, как и вектор перемещения. Средняя скорость может быть рассчитана:

$\bar{v}=\frac{\overline{\Delta r }}{\Delta t }$

Если интервал времени $\Delta t\to 0$ , вектор перемещения стремится к тому, чтобы совпадать с путем перемещения, и тогда может быть вычислена мгновенная скорость:

$\bar{v}=\frac{d\overline{r}}{dt } =\frac{ds }{dt }$

Ускорение точки (в векторном или скалярном виде) мы узнаем, взяв производную от скорости по времени:

$\bar{a}=\frac{d\bar{v}}{dt } ,\; a =\frac{dv }{dt }$

Если движение криволинейно, ускорение можно разложить на две составляющие: тангенциальное ускорение $\bar{a}_{\tau }$ и центростремительное ускорение $\bar{a}_{c}$ :

$\bar{a}=\bar{a}_{\tau } +\bar{a}_{c}$

$a_{\tau } =\frac{dv }{dt }$

$a_{c} =\frac{v^2 }{R}$

где R – это радиус кривизны рассматриваемой траектории. Модуль ускорения, включающего обе компоненты, при криволинейном движении:

$a=\sqrt{\left(\frac{dv }{dt } \right)^2 +\left(\frac{v^2 }{R} \right)^2 }$

Если движение имеет прямолинейный характер, ускорение имеет только тангенциальную составляющую.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Задана материальная точка, которая перемещается вдоль оси абсцисс. Движение совершается по закону: х = 4 + 2t – 0,5t³. Для t = 2 c найдите координату этой точки, её мгновенные скорость и ускорение.

Решение

1) Найдём координату точки, воспользовавшись уравнением движения:

$x(t=2\; c) =4+2t- 0,5t^3 =4+2\cdot 2-0,5\cdot 2^3 =4$ м.

2) Вычислим производную от уравнения движения и найдём мгновенную скорость точки:

$v =\frac{dx }{dt } =( 4+2t- 0,5t^3 )'=2-1,5t^2$

$v(t=2\; c) =2-1,5t^2 =2-1,5\cdot 2^2 =-4\ m/c$

3) Вычислим производную от уравнения скорости, чтобы найти мгновенное ускорение:

$a =\frac{dv }{dt } =( 2-1,5t^2 )'=-3t$

$a(t=2\; c) =-3t=-3\cdot 2=-6\ m/c^2$

Ответ

В рассматриваемый момент времени $x=4$ м, $v= -4$ м/с, $а=-6$ м/с $^{2}$

ПРИМЕР 2

Задание

Материальная точка движется по оси Х. Пусть её движение совершается по закону: х = 5 + 4t – t². Нужно построить график функций, отображающих зависимость пути s и координаты х от времени. Найдите среднюю скорость, а также среднюю скорость пути за отрезок времени от t₁ = 1 c до t₂ = 6 с.

Решение

Чтобы построить требуемый график, найдём начальную и самую большую из достигнутых координаты, после чего найдем моменты времени, соответствующие этим координатам, а также координате х = 0.

В начальной координате объект находится в момент времени t = 0. Её значение:

х (t = 0) = 5 + 4t – t² = 5 + 4•0 – 0² = 5 м.

Из уравнения движения видим, что ускорение точки (заданное последним слагаемым) отрицательное. Значит, скорость уменьшается, и максимальная координата будет достигнута в тот момент, когда скорость начнёт менять знак. Найдём скорость как первую производную, взятую от уравнения движения, и приравняем ее к нулю:

$v=x'=(5+4t- t^2 )'=4-2t=0$

Отсюда t = 2 c – момент, когда координата будет максимальной. Найдём эту координату:

х (t = 2) = 5 + 4t – t² = 5 + 4•2 – 2² = 9 м.

Найдём момент времени, когда координата х = 0:

х = 5 + 4t – t² = 0.

Решив это квадратное уравнение, получим корни: t₁ = 5 c, t₂ = -1 c. Последний результат отбрасываем, как нефизический.

Поскольку график, выражающий зависимость координаты от переменной времени, представляет собой кривую линию второго порядка, то в него входят пять разных коэффициентов. Поэтому найдём координаты еще для двух значений времени:

х (t = 1) = 5 + 4t – t² = 5 + 4•1 – 1² = 8 м.

х (t = 6) = 5 + 4t – t² = 5 + 4•6 – 6² = -7 м.

За этими данными мы можем начертить график для координаты. График пути строим за предыдущим графиком следующим образом:

1) До того, как скорость изменит свой знак, графики пути и координаты повторяют друг друга;

2) Начиная с момента, когда скорость изменит свой знак, путь возрастает по той же функции, по какой убывает координата.

Вычислим среднюю скорость за отрезок времени от t₁ = 1 c до t₂ = 6 с:

$\bar{v}_{x} =\frac{x_2 -x_1 }{t_2 -t_1 } =\frac{-7-8}{6-1} =-3\ m/c$

Пример кинематического уравнения движения

Чтобы найти среднюю путевую скорость, найдём путь, пройденный точкой за интервал времени от t₁ = 1 c до t₂ = 6 с. Этот путь складывается из двух отрезков пути – до и после перемены знака скорости:

$s=s_1 +s_2 =(x_{\max } -x_1 )+(x_{\max } +x_2 )=9-8+9+\left|-7\right|=17\ m$

Тогда средняя путевая скорость:

$\bar{v}=\frac{s}{t_2 -t_1 } =\frac{17}{6-1} =3,4\ m/c$

Ответ

$\bar{v}_{x} =-3$ м/с, $\bar{v}=3,4$ м/с

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Кинематические уравнения движения

Характеристики кинематического уравнения движения

Примеры решения задач