Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Основное уравнение МКТ

Определение и формула уравнения МКТ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение, положенное в основу молекулярно-кинетической теории, связывает макроскопические величины, описывающие состояние идеального газа (например, давление) с параметрами его молекул (их массами и скоростями). Это уравнение имеет вид:

    \[p=\frac{1}{3} m_0 n\overline{v^2 }\]

Здесь m_0 – масса газовой молекулы, n – концентрация таких частичек в единице объема, \overline{v^2 } – усреднённый квадрат скорости молекул.

Основное уравнение МКТ наглядно объясняет, каким образом идеальный газ создает давление на окружающие его стенки сосуда. Молекулы все время ударяются о стенку, воздействуя на нее с некоторой силой F. Тут следует вспомнить третий закон Ньютона: когда молекула ударяется о предмет, на нее действует сила -F, вследствие чего молекула «отбивается» от стенки. При этом мы считаем соударения молекул со стенкой абсолютно упругими: механическая энергия молекул и стенки полностью сохраняется, не переходя во внутреннюю энергию тел. Это значит, что при соударениях изменяются только скорости молекул, а нагревания молекул и стенки не происходит.

Основное уравнение МКТ

Зная, что соударение со стенкой было упругим, мы можем предсказать, как изменится скорость молекулы после столкновения. Модуль скорости останется таким же, как и до соударения, а направление движения изменится на противоположное относительно оси Ох (считаем, что Ох – это та ось, которая перпендикулярна стенке).

Молекул газа очень много, движутся они хаотично и о стенку ударяются часто. Найдя геометрическую сумму сил, с которой каждая молекула воздействует на стенку, мы узнаём силу давления газа. Чтобы усреднить скорости молекул, необходимо использовать статистические методы. Именно поэтому в основном уравнении МКТ используют усредненный квадрат скорости молекул \overline{v^2 }, а не квадрат усредненной скорости \bar{v}^2: усредненная скорость хаотично движущихся молекул равна нулю, и в этом случае никакого давления мы бы не получили.

Теперь ясен физический смысл уравнения: чем больше молекул содержится в объеме, чем они тяжелее и чем быстрее движутся – тем большее давление они создают на стенки сосуда.

Основное уравнение МКТ для модели идеального газа

Следует заметить, что основное уравнение МКТ выводилось для модели идеального газа с соответствующими допущениями:

  1. Соударения молекул с окружающими объектами абсолютно упругие. Для реальных же газов это не совсем так; часть кинетической энергии молекул всё-таки переходит во внутреннюю энергию молекул и стенки.
  2. Силами взаимодействия между молекулами можно пренебречь. Если же реальный газ находится при высоком давлении и сравнительно низкой температуре, эти силы становятся весьма существенными.
  3. Молекулы считаем материальными точками, пренебрегая их размером. Однако размеры молекул реальных газов влияют на расстояние между самими молекулами и стенкой.
  4. И, наконец, основное уравнение МКТ рассматривает однородный газ – а в действительности мы часто имеем дело со смесями газов. Как, например, воздух.

Однако для разреженных газов это уравнение дает очень точные результаты. Кроме того, многие реальные газы в условиях комнатной температуры и при давлении, близком к атмосферному, весьма напоминают по свойствам идеальный газ.

Как известно из законов динамики, кинетическая энергия любого тела или частицы E_k =\frac{mv ^2 }{2} . Заменив произведение массы каждой из частичек и квадрата их скорости в записанном нами уравнении, мы можем представить его в виде:

    \[p= \frac{2}{3} nE _k \]

Также кинетическая энергия газовых молекул выражается формулой E_{k} =\frac{3}{2} kT, что нередко используется в задачах. Здесь k – это постоянная Больцмана, устанавливающая связь между температурой и энергией. k=1,38•10-23 Дж/К.

Основное уравнение МКТ лежит в основе термодинамики. Также оно используется на практике в космонавтике, криогенике и нейтронной физике.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Определить скорость движения частиц воздуха в нормальных условиях.
Решение Используем основное уравнение МКТ, считая воздух однородным газом. Так как воздух на самом деле – это смесь газов, то и решение задачи не будет абсолютно точным.
Пример основного уравнения МКТ

Давление газа:

    \[p= \frac{1}{3} m_0 n\overline{v^2 }\]

Можем заметить, что произведение n\cdot m_0 – это плотность газа, так как n – концентрация молекул воздуха (величина, обратная объему), а m – масса молекулы.

Тогда предыдущее уравнение примет вид:

    \[p= \frac{1}{3} \rho v ^2 \]

В нормальных условиях давление равно 105 Па, плотность воздуха 1,29кг/м3 – эти данные можно взять из справочной литературы.

Из предыдущего выражения получим скорость молекул воздуха:

    \[ v= \sqrt{\frac{3p }{\rho } } =\sqrt{\frac{3\cdot 10^5 }{1,29} }= 483 m/c  \]

Ответ v=483 м/с
ПРИМЕР 2
Задание Определить концентрацию молекул однородного газа при температуре 300 К и давлении 1 МПа. Газ считать идеальным.
Решение Решение задачи начнём с основного уравнения МКТ: p=\frac{1}{3} m_0 n\overline{v^2 }. Кинетическая энергия молекул, как и любых материальных частичек: E_{k} =\frac{mv ^2 }{2}. Тогда наша расчетная формула примет несколько другой вид:

    \[p= \frac{2}{3} nE_{k} \]

Однако кинетическая энергия молекул в термодинамике определяется и с помощью другого выражения, и напрямую связана с температурой газа:

    \[E_{k} =\frac{3}{2} kT \]

Подставив эту формулу в предыдущее выражение, получим еще одну форму записи основного уравнения МКТ:

    \[p=nkT\]

Выразим и рассчитаем концентрацию молекул газа:

    \[ n=\frac{p}{kT} =\frac{10^6 }{1,38\cdot 10^{-23} \cdot 300} = 2,42\cdot10^{17} m^{-3} \]

Ответ n=2,42\cdot10^{17} молекул/м ^{3}