Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Построение гиперболы

Схема построения графика гиперболы

Функцию, которую можно задать формулой вида y=\frac{k}{x} называют обратной пропорциональностью. Кривая, которая является графиком функции y=\frac{k}{x}, называется гиперболой.

График гиперболы

Гипербола состоит из двух частей – веток гиперболы. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, а если k<0 – то в II и IV четвертях.

Областью определения и областью значений функции y=\frac{k}{x}, где k\ne 0, есть все числа, кроме 0. Гипербола не имеет общих точек с осью ординат.

Функция y=\frac{k}{x} – нечетная функция, поскольку

    \[    f(-x)=\frac{k}{-x} =-\frac{k}{x} =-f(x), \]

значит, график функции симметричен относительно начала координат.

Если k>0, то функция убывает на промежутке (-\infty ,0)\bigcup (0,+\infty ).

Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-\infty ,0)\bigcup (0,+\infty ).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Построить график функции y=\frac{1}{x}
Решение Поскольку k=1>0, то гипербола будет расположена в I и III координатных четвертях. Сначала построим ветвь графика на промежутке (0,+\infty ). Составим таблице значений функции

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной линией. Это будет ветвь графика функции y=\frac{1}{x} на промежутке (0,+\infty ). Воспользовавшись нечетностью функции, добавим к построенной ветви ветвь, симметричную относительно начала координат. Получим график функции y=\frac{1}{x} (рис. 1).

ПРИМЕР 2
Задание Решить уравнение \frac{4}{x} =x+3
Решение Сделаем рисунок.

Рассмотрим функции y=\frac{4}{x} и y=x+3. Построим в одной системе координат графики этих двух функции (рис. 2) – гиперболу и прямую. Они пресекаются в двух точках, абсциссы которых равны 1 и (-4). В точках пресечения графиков функций сами функции принимают одинаковые значения. Значит, при найденных абсциссах значения выражений \frac{4}{x} и x+3 равны, т.е. числа 1 и -4 являются корнями исходного уравнения \frac{4}{x} =x+3.

Ответ Корни исходного уравнения: 1, -4