Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Построение параболы

Алгоритм построения графика параболы

Если парабола задана уравнением y=ax^{2} +bx+c, то чтобы построить ее график, понадобится:

  1. Выяснить направление ветвей параболы: если коэффициент a>0, то ветви направлены вверх, а если a<0 – вниз.
  2. Определить координаты вершины параболы. Чтобы определить абсциссу вершины параболы пользуются формулой

        \[x_{bep} =-\frac{b}{2a} \]

    Для определения ординаты вершины параболы нужно подставить в уравнение параболы вместо x найденное в предыдущем шаге значение x_{bep}:

        \[y_{bep} =y\left(x_{bep} \right)=a\cdot x_{bep}^{2} +b\cdot x_{bep} +c\]

  3. Нанести полученную точку на график и провести через неё ось симметрии, параллельно координатной оси Oy.
  4. Найти точки пересечения с осями координат:
  5. – с осью Ox – найти корни уравнения ax^{2} +bx+c=0, если уравнение не имеет действительных корней, то график не пересекает ось абсцисс,

    – с осью Oy – подставить в уравнение значение x=0 и вычислить значение y.

  6. Найти координаты произвольной точки A(x,y), которая принадлежит параболе. Для этого возьмем произвольное значение x и подставим его в уравнение параболы.
  7. Соединить полученные точки на графике плавной линией и продолжить график за крайние точки, до конца координатной оси.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Построить график функции y=x^{2}
Решение Графиком функции y=x^{2} является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. старший коэффициент a=1>0), а вершина находится в начале координат. Осью симметрии является ось Oy.

Найдем дополнительные точки. Возьмем значение x=1 и подставим в уравнение параболы:

    \[y=x^{2} =1^{2} =1\]

То есть получили точку с координатами (1,1). Аналогично найдем еще несколько точек параболы: (-1,1), (2,4), (-2,4).

График функции y=x^{2} изображен на рисунке 1.

Построение параболы
ПРИМЕР 2
Задание Построить график функции y=-2x^{2} +3x+2
Решение График функции является парабола. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент a=-2<0. Найдем координаты вершины параболы:

    \[x_{bep} =-\frac{b}{2a} =\frac{3}{4} ,\ y_{bep} =-2\cdot \left(\frac{3}{4} \right)^{2} +3\cdot \left(\frac{3}{4} \right)+2=\frac{25}{8} \]

Осью симметрии будет прямая x=\frac{3}{4}.

Найдем точки пересечения с осями координат

– с осью Ox. Корнями уравнения -2x^{2} +3x+2=0 будут x_{1} =2,\ x_{2} =-\frac{1}{2}. Следовательно, точки пересечения с осью Ox: (2,0) и \left(-\frac{1}{2} ,0\right);

– с осью Oy: x=0, y(0)=-2\cdot 0^{2} +3\cdot 0+2=2. Точка пересечения с осью Oy\ -\ (0,2).

Найдем координату произвольной точки, например, при x=1 получим y=3, т.е. точка A(1,3).

График функции y=-2x^{2} +3x+2 изображен на рисунке 2.

Построение графика параболы