Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Эксцентриситет гиперболы

Определение и формула эксцентриситета гиперболы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Эксцентриситетом гиперболы называется величина e, равная отношению \frac{c}{a}:

    \[e=\frac{c}{a} \]

где c=\sqrt{b^{2} +a^{2} } ,\ a,b>0 – полуоси гиперболы.

Учитывая связь величины c с длинами a и b действительной и мнимой полуосей гиперболы легко получить следующие выражения для эксцентриситета e:

    \[e=\sqrt{1+\frac{b^{2} }{a{}^{2} } } \]

Из последней формулы следует, что эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Замечание 1. Две гиперболы, имеющие одинаковый эксцентриситет, подобны.

Замечание 2. Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между ее асимптотами.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением

    \[    \frac{x^{2} }{16} -\frac{y^{2} }{9} =1 \]

Решение Из заданного уравнения гиперболы видно, что a^{2} =16 и b^{2} =9, откуда длины полуосей равны a=4,\ b=3. Найдем значение

    \[c=\sqrt{b^{2} +a^{2} } =\sqrt{9+16} =\sqrt{25} =5 \]

Тогда эксцентриситет e равен

    \[e=\frac{c}{a} =\frac{5}{4} =1,25\]

Ответ Эксцентриситет гиперболы равен e=1,25
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить эксцентриситет гиперболы, если ее асимптоты – это прямые y=\pm 3x
Решение Уравнения асимптот гиперболы имеют вид:

    \[    y=\pm \frac{b}{a} x \]

Из заданного в условии уравнения получим, что \pm \frac{b}{a} =\pm 3. Найдем эксцентриситет гиперболы по формуле

    \[e=\sqrt{1+\frac{b^{2} }{a^{2} } } =\sqrt{1+3^{2} } =\sqrt{10} \]

Ответ Эксцентриситет гиперболы равен e=\sqrt{10}