Гипербола

Определение гиперболы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек $F_{1}$ и $F_{2}$ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Фокусы $F_{1}$ и $F_{2}$ гиперболы естественно считать различными, т.к. если указанная в определении постоянная не равна нулю, то нет ни одной точки плоскости при совпадении $F_{1}$ и $F_{2}$ , которая бы удовлетворяла требованиям определения гиперболы. Если же эта постоянная равна нулю и $F_{1}$ совпадает с $F_{2}$ , то любая точка плоскости удовлетворяет требованиям определения гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы

Гипербола имеет каноническое уравнение

$\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2} } =1,$

где $a>0, b>0$ . Действительная полуось гиперболы равна $a$ , а мнимая полуось равна $b$ .

Вершинами гиперболы называются точки $(\pm a,0)$ .

Фокусы гиперболы имеют координаты $F_{1} (c,0)$ и $F_{2} (-c,0)$ , где $c=\sqrt{a^{2} +b^{2}$ .

Эксцентриситетом гиперболы называется величина $e$ , равная

$e=\frac{c}{a}$

Для гиперболы величина $e>1$ .

Директрисы гиперболы задаются уравнениями

$x=\pm \frac{a}{e}$

Асимптотами гиперболы являются прямые $y=\pm \frac{b}{a} x$ .

Гипербола $\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2} } =-1$ называется сопряженной к гиперболе $\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2}} =1$ , она имеет те же асимптоты, но ее ветви расположены в другой паре вертикальных углов между асимптотами.