Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Гипербола

Определение гиперболы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F_{1} и F_{2} этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Гипербола

Фокусы F_{1} и F_{2} гиперболы естественно считать различными, т.к. если указанная в определении постоянная не равна нулю, то нет ни одной точки плоскости при совпадении F_{1} и F_{2}, которая бы удовлетворяла требованиям определения гиперболы. Если же эта постоянная равна нулю и F_{1} совпадает с F_{2}, то любая точка плоскости удовлетворяет требованиям определения гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы

Гипербола имеет каноническое уравнение

    \[\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2} } =1,\]

где a>0, b>0. Действительная полуось гиперболы равна a, а мнимая полуось равна b.

Вершинами гиперболы называются точки (\pm a,0).

Фокусы гиперболы имеют координаты F_{1} (c,0) и F_{2} (-c,0), где c=\sqrt{a^{2} +b^{2}.

Эксцентриситетом гиперболы называется величина e, равная

    \[e=\frac{c}{a} \]

Для гиперболы величина e>1.

Директрисы гиперболы задаются уравнениями

    \[x=\pm \frac{a}{e} \]

Асимптотами гиперболы являются прямые y=\pm \frac{b}{a} x.

Гипербола \frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2} } =-1 называется сопряженной к гиперболе \frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2}} =1, она имеет те же асимптоты, но ее ветви расположены в другой паре вертикальных углов между асимптотами.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти полуоси, эксцентриситет и координаты фокусов гиперболы

    \[ \frac{x^{2} }{64} -\frac{y^{2} }{36} =1 \]

Решение Полуоси a и b заданной гиперболы будут равны соответственно

    \[a=\sqrt{64} =8,\ b=\sqrt{36} =6\]

Эксцентриситет гиперболы e=\frac{c}{a}. Найдем вначале значение величины c:

    \[c=\sqrt{a^{2} +b^{2} } =\sqrt{64+36} =10,\]

тогда эксцентриситет будет равен

    \[e=\frac{c}{a} =\frac{10}{8} =\frac{5}{4} \]

Фокусы гиперболы имеют координаты F_{1} (c,0) и F_{2} (-c,0), т.е.

F_{1} (10,0) и F_{2} (-10,0).

Ответ a=8,\ b=6,\ e=\frac{5}{4} ,\ F_{1} (10,0),\ F_{2} (-10,0)
ПРИМЕР 2
Задание Составить уравнения директрис и асимптот гиперболы

    \[ \frac{x^{2} }{16} -\frac{y^{2} }{9} =1 \]

Решение Директрисы гиперболы задаются уравнениями x=\pm \frac{a}{e}. Найдем значение эксцентриситета

    \[e=\frac{c}{a} =\sqrt{1+\frac{b^{2} }{a^{2} } } =\sqrt{1+\frac{9}{16} } =\frac{5}{4} \]

Тогда уравнения директрис запишутся в виде:

    \[x=\pm \frac{4}{5/4} =\pm \frac{16}{5} \]

Асимптотами гиперболы являются прямые y=\pm \frac{b}{a} x, т.е. для заданной гиперболы асимптотами будут прямые

    \[y=\pm \frac{3}{4} x\]

Ответ x=\pm \frac{16}{5} , y=\pm \frac{3}{4} x