Свойства гиперболы

Определение и свойства гиперболы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Гипербола – эта линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат $Oxy$ имеет уравнение

$\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2} } =1$

Указанная система координат называется канонической, а уравнение – каноническим уравнением гиперболы.

Фокальное свойство гиперболы. Гипербола является геометрическим местом точек, разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине постоянна:

$|F_{1} M-F_{2} M|=2a$

Директориальное свойство гиперболы. Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно числу $e=\frac{c}{a}$ , называемому эксцентриситетом гиперболы.

Прямые $x=\pm \frac{a}{e}$ называются директрисами гиперболы.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Составить каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы равен $\frac{7}{5}$ , а расстояние от вершины до ближайшего фокуса равно 2.

Решение

Выберем вершину гиперболы с координатами $(a,0)$ , тогда ближайший фокус имеет координаты $(c,0)$ . Из условия задачи известно, что расстояние между вершиной и фокусом рано 2, т.е.

$c$ — $a=2$