Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства гиперболы

Определение и свойства гиперболы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Гипербола – эта линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxy имеет уравнение

    \[\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2} } =1\]

Указанная система координат называется канонической, а уравнение – каноническим уравнением гиперболы.

График гиперболы

Фокальное свойство гиперболы. Гипербола является геометрическим местом точек, разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине постоянна:

    \[|F_{1} M-F_{2} M|=2a\]

Директориальное свойство гиперболы. Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно числу e=\frac{c}{a}, называемому эксцентриситетом гиперболы.

Прямые x=\pm \frac{a}{e} называются директрисами гиперболы.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Составить каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы равен \frac{7}{5}, а расстояние от вершины до ближайшего фокуса равно 2.
Решение Выберем вершину гиперболы с координатами (a,0), тогда ближайший фокус имеет координаты (c,0). Из условия задачи известно, что расстояние между вершиной и фокусом рано 2, т.е.

ca=2

Также известно, что эксцентриситет гиперболы равен \frac{7}{5}, т.е.

    \[\frac{c}{a} =\frac{7}{5} \]

Получили два условия на c и a, из которых следует, что a=5, c=7. Найдем параметр b из равенства

c^{2} =a^{2} +b^{2} , 49=25+b^{2} \text{ } или \text{ } b^{2} =24

Подставим полученные результаты в каноническое уравнение гиперболы и получим

    \[\frac{x^{2} }{25} -\frac{y^{2} }{24} =1\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Составить уравнение директрис гиперболы, если эксцентриситет e=2, а точка (2,3) принадлежит гиперболе.
Решение Директрисы гиперболы задаются уравнениями x=\pm \frac{a}{e}. Найдем параметр a. Для этого запишем

    \[    e=\frac{c}{a} =\frac{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }{a} =2, \]

откуда b^{2} =3a^{2}. Подставим b^{2} =3a^{2} в уравнение гиперболы

    \[\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{3a^{2} } =1\]

Так как точка (2,3) принадлежит гиперболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению, т.е.

    \[\frac{2^{2} }{a^{2} } -\frac{3^{2} }{3a^{2} } =1,\]

откуда a=1. Следовательно, уравнения директрис будут иметь вид

    \[x=\pm \frac{a}{5} =\pm \frac{1}{2} = \pm 0,5\]

Ответ Уравнение директрис гиперболы: x=\pm 0,5