Уравнение гиперболы

Каноническое уравнение гиперболы

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

$\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2} } =1,$

где $a$ – вещественная полуось, $b$ – мнимая полуось гиперболы.

Вершины гиперболы находятся на вещественной оси и имеют координаты $(\pm a,0)$ . Фокусы гиперболы имеют координаты $F_{1} (c,0)$ и $F_{2} (-c,0)$ , где $c=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Составить уравнение гиперболы, если длина вещественной оси равна единице, а точка $(1,3)$ принадлежит гиперболе.

Решение

Из условия задачи известно, что длина вещественной оси равна единице, тогда параметр $a=\frac{1}{2}$ . Подставим полученное значение в каноническое уравнение гиперболы

$\frac{x^{2} }{\left(\frac{1}{2} \right)^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2} } =1 \Rightarrow 4x^{2} -\frac{y^{2} }{b^{2} } =1$

Найдем значение параметра $b$ , подставив в уравнение координаты точки $(1,3)$ :

$4\cdot 1^{2} -\frac{3^{2} }{b^{2} } =1 \Rightarrow b^{2} =3$

Подставим полученное значение в уравнение гиперболы

$4x^{2} -\frac{y^{2} }{3} =1$

Ответ

Уравнение гиперболы имеет вид: $4x^{2} -\frac{y^{2} }{3} =1$

ПРИМЕР 2

Задание

В данной системе координат гипербола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если расстояние между вершинами равно 10, а расстояние между фокусами равно 12.

Решение