Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение гиперболы

Каноническое уравнение гиперболы

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

    \[\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2} } =1,\]

где a – вещественная полуось, b – мнимая полуось гиперболы.

График гиперболы

Вершины гиперболы находятся на вещественной оси и имеют координаты (\pm a,0). Фокусы гиперболы имеют координаты F_{1} (c,0) и F_{2} (-c,0), где c=\sqrt{a^{2} +b^{2} }.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Составить уравнение гиперболы, если длина вещественной оси равна единице, а точка (1,3) принадлежит гиперболе.
Решение Из условия задачи известно, что длина вещественной оси равна единице, тогда параметр a=\frac{1}{2}. Подставим полученное значение в каноническое уравнение гиперболы

    \[\frac{x^{2} }{\left(\frac{1}{2} \right)^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2} } =1 \Rightarrow 4x^{2} -\frac{y^{2} }{b^{2} } =1\]

Найдем значение параметра b, подставив в уравнение координаты точки (1,3):

    \[4\cdot 1^{2} -\frac{3^{2} }{b^{2} } =1 \Rightarrow b^{2} =3\]

Подставим полученное значение в уравнение гиперболы

    \[4x^{2} -\frac{y^{2} }{3} =1\]

Ответ Уравнение гиперболы имеет вид: 4x^{2} -\frac{y^{2} }{3} =1
ПРИМЕР 2
Задание В данной системе координат гипербола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если расстояние между вершинами равно 10, а расстояние между фокусами равно 12.
Решение Вершины гиперболы имеют координаты (\pm a,0), т.е. расстояние между ними равно 2a. Из условия задачи следует, что

    \[2a=10 \Rightarrow  a=5\]

Фокусы гиперболы имеют координаты F_{1} (c,0) и F_{2} (-c,0), т.е. расстояние между ними равно 2c. Тогда

    \[2c=12 \Rightarrow  c=6\]

Найдем значение параметра b:

    \[b=\sqrt{c^{2} -a^{2} } =\sqrt{36-25} =\sqrt{11} \]

Теперь можно записать искомое уравнение гиперболы

    \[\frac{x^{2} }{25} -\frac{y^{2} }{11} =1\]

Ответ