Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тангенс умножить на тангенс

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Произведение тангенсов разных углов равно отношению суммы тангенсов углов к сумме котангенсов этих углов:

    \[ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta =\frac{\text{tg}\alpha +\text{tg}\beta }{\text{ctg}\alpha +\text{ctg}\beta }\]

или

    \[ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти значение выражения \text{tg}50^{\circ}\cdot \text{tg}40^{\circ}
Решение Воспользуемся второй формулой для вычисления произведения тангенсов двух углов

    \[\text{tg}50^{\circ}\cdot \text{tg}40^{\circ}=\frac{\cos (50^{\circ}-40^{\circ})-\cos (50^{\circ}+40^{\circ})}{\cos (50^{\circ}-40^{\circ})+\cos (50^{\circ}+40^{\circ})}=\frac{\cos 10^{\circ}-\cos 90^{\circ}}{\cos 10^{\circ}+\cos 90^{\circ}}=\]

    \[=\frac{\cos 10^{\circ}-0^{\circ}}{\cos 10^{\circ}+0^{\circ}}=1\]

Ответ \text{tg}50^{\circ}\cdot \text{tg}40^{\circ}=1
ПРИМЕР 2
Задание Известно угол \alpha в два раза больше угла \beta, а \cos \beta =\frac{1}{3}. Найти \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta
Решение По условию задачи \alpha =2\beta, тогда \text{tg}\alpha =\text{tg}2\beta. Найдем \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta:

    \[\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta =\text{tg}2\beta \cdot \text{tg}\beta =\frac{\cos (2\beta -\beta )-\cos (2\beta +\beta )}{\cos (2\beta -\beta )+\cos (2\beta +\beta )}=\frac{\cos \beta -\cos 3\beta }{\cos \beta +\cos 3\beta }\]

Воспользуемся формулой косинуса тройного угла:

    \[\cos 3\beta =4{{\cos }^{3}}\beta -3\cos \beta =4\cdot {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}-3\cdot \left( \frac{1}{3} \right)=-\frac{23}{27}\]

Подставим полученный результат в выражение для произведения тангенсов

    \[\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta =\frac{\cos \beta -\cos 3\beta }{\cos \beta +\cos 3\beta }=\frac{\frac{1}{3}-\left( -\frac{23}{27} \right)}{\frac{1}{3}+\left( -\frac{23}{27} \right)}=\frac{\frac{32}{27}}{-\frac{14}{27}}=-\frac{16}{7}\]

Ответ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta =-\frac{16}{7}