Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тангенс двойного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Формула для тангенса двойного угла имеет вид:

    \[ \text{tg}2\alpha =\frac{2\text{tg}\alpha }{1-\text{tg}^{2}\alpha}\]

Вывод формулы тангенса двойного угла

Ее можно получить, используя формулу для тангенса суммы углов

    \[\text{tg}(\alpha +\beta )=\frac{\text{tg}\alpha +\text{tg}\beta }{1-\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta }\]

положив в ней \beta =\alpha. Действительно,

    \[\text{tg}2\alpha =\text{tg}(\alpha +\alpha )=\frac{\text{tg}\alpha +\text{tg}\alpha }{1-\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha }=\frac{2\text{tg}\alpha }{1-\text{tg}^{2}\alpha}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Упростить выражение

    \[ \frac{1}{1-\text{tg}\alpha }-\frac{1}{1+\text{tg}\alpha } \]

Решение Приведем заданную разность к общему знаменателю:

    \[\frac{1}{1-\text{tg}\alpha }-\frac{1}{1+\text{tg}\alpha }=\frac{1+\text{tg}\alpha -1+\text{tg}\alpha }{(1-\text{tg}\alpha )(1+\text{tg}\alpha )}=\frac{2\text{tg}\alpha }{1-\text{tg}^{2}\alpha} =\text{tg}2\alpha \]

т.е.

    \[\frac{1}{1-\text{tg}\alpha }-\frac{1}{1+\text{tg}\alpha }=\text{tg}2\alpha \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти значение \text{tg}2\alpha, если известно, что \cos \alpha =\frac{1}{3}, угол \alpha лежит в первой четверти.
Решение Из основного тригонометрического равенства выразим значения синуса угла \alpha:

    \[\sin \alpha =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\]

Теперь можно найти значение тангенса \alpha:

    \[\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{2\sqrt{2}}{3}:\frac{1}{3}=2\sqrt{2}\]

Воспользуемся формулой для тангенса двойного угла и подставим в него найденное значение тангенса:

    \[\text{tg}2\alpha =\frac{2\text{tg}\alpha }{1-\text{tg}^{2}\alpha}=\frac{2\cdot 2\sqrt{2}}{1-(2\sqrt{2^{2}})}=-\frac{4\sqrt{2}}{7}\]

Ответ