Сумма котангенсов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Сумма котангенсов двух углов $\alpha$ и $\beta$ равна отношению синуса суммы $\alpha +\beta$ к произведению синусов этих углов:

$\text{ctg }\alpha +\text{ctg }\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha \cdot \sin \beta }$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить $\text{ctg }{{150}^{\circ}}+\text{ctg }{{105}^{\circ}}$

Решение

Применим формулу суммы котангенсов:

$\text{ctg }{{150}^{\circ}}+\text{ctg }{{105}^{\circ}}=\frac{\sin ({{150}^{\circ}}+{{105}^{\circ}})}{\sin {{150}^{\circ}}\cdot \sin {{105}^{\circ}}}=\frac{\sin {{255}^{\circ}}}{\sin \left( {{180}^{\circ}}-{{30}^{\circ}} \right)\cdot \sin \left( {{360}^{\circ}}-{{255}^{\circ}} \right)}$

Воспользуемся формулами приведения для синуса, получим:

$\frac{\sin {{255}^{\circ}}}{\sin ({{180}^{\circ}}-{{30}^{\circ}})\sin ({{360}^{\circ}}-{{255}^{\circ}})}=\frac{\sin {{255}^{\circ}}}{\sin {{30}^{\circ}}\cdot (-\sin {{255}^{\circ}})}=-\frac{1}{2}$

т.е. $\text{ctg }{{150}^{\circ}}+\text{ctg }{{105}^{\circ}}=-\frac{1}{2}$ .

Ответ

$\text{ctg }{{150}^{\circ}}+\text{ctg }{{105}^{\circ}}=-\frac{1}{2}$

ПРИМЕР 2

Задание

Доказать, что $\text{ctg }\frac{5\pi }{12}+\text{ctg }\frac{\pi }{12}=4$

Доказательство

Представим сумму котангенсов в виде

$\text{ctg }\frac{5\pi }{12}+\text{ctg }\frac{\pi }{12}=\frac{\sin \left( \frac{5\pi }{12}+\frac{\pi }{12} \right)}{\sin \frac{5\pi }{12}\cdot \sin \frac{\pi }{12}}=\frac{\sin \frac{\pi }{2}}{\frac{1}{2}\left( \cos \frac{\pi }{3}-\cos \frac{\pi }{2} \right)}=\frac{1}{\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}-0 \right)}=4$

Что и требовалось доказать.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Сумма котангенсов

Примеры решения задач