Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Сумма тангенсов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сумма тангенсов двух углов \alpha и \beta равна отношению синуса суммы \alpha +\beta к произведению косинусов этих углов:

    \[ \text{tg}\alpha +\text{tg}\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cdot \cos \beta } \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Проверить, что \text{tg}15^{\circ}+\text{tg}60^{\circ}=2
Доказательство Применим формулу суммы тангенсов

    \[\text{tg}15^{\circ}+\text{tg}60^{\circ}=\frac{\sin (15^{\circ}+60^{\circ})}{\cos 15^{\circ}\cos 60^{\circ}}=\frac{\sin 75^{\circ}}{\cos 15^{\circ}\cos 60^{\circ}}\]

Представим \cos 15^{\circ} в виде \cos 15^{\circ}=\cos (90^{\circ}-75^{\circ})=\sin 75^{\circ} и подставим в предыдущее равенство:

    \[\frac{\sin 75^{\circ}}{\cos 15^{\circ}\cos 60^{\circ}}=\frac{\sin 75^{\circ}}{\sin 75^{\circ}\cos 60^{\circ}}=\frac{1}{\cos 60^{\circ}}=2\]

т.е.

    \[\text{tg}15^{\circ}+\text{tg}60^{\circ}=2\]

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2
Задание Найти значение выражения \text{tg}\frac{3\pi }{8}+\text{tg}\frac{\pi }{8}
Решение Представим сумму разность в виде

    \[\text{tg}\frac{3\pi }{8}+\text{tg}\frac{\pi }{8}=\frac{\sin \left( \frac{3\pi }{8}+\frac{\pi }{8} \right)}{\cos \frac{3\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8}}=\frac{\sin \frac{\pi }{2}}{\frac{1}{2}\left( \cos \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{2} \right)}=\frac{1}{\frac{1}{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}+0 \right)}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\]

Ответ \text{tg}\frac{3\pi }{8}+\text{tg}\frac{\pi }{8}=2\sqrt{2}