Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема тангенсов

ТЕОРЕМА
Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов:

    \[ \frac{a-b}{a+b}=\frac{\text{tg}\left( \frac{\alpha -\beta }{2} \right)}{\text{tg}\left( \frac{\alpha +\beta }{2} \right)}\]

(и две аналогичные формулы для других пар сторон a,c и b,c).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Доказать, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы.
Доказательство Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором \angle A=90^{\circ}, \quad \angle B=30^{\circ}. Пусть гипотенуза BC=a, а катет AC=b. Запишем теорему тангенсов для этого треугольника:

    \[\frac{BC-AC}{BC+AC}=\frac{\text{tg}\left( \frac{A-B}{2} \right)}{\text{tg}\left( \frac{A+B}{2} \right)}\]

или

    \[\frac{a-b}{a+b}=\frac{\text{tg}\left( \frac{90^{\circ}-30^{\circ}}{2} \right)}{\text{tg}\left( \frac{90^{\circ}+30^{\circ}}{2} \right)}=\frac{\text{tg}30^{\circ}}{\text{tg}60^{\circ}}=\frac{1}{3}\]

Получили, что \frac{a-b}{a+b}=\frac{1}{3} или 3(a-b)=a+b, откуда

    \[a=2b\]

Таким образом, гипотенуза BC в два раза больше катета AC.

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике ABC стороны BC=2 см, AC=1 см, а \angle C=60^{\circ}. Найти остальные углы треугольника.
Решение Введем обозначения: BC=a, \quad AC=b. Запишем теорему тангенсов для этого треугольника

    \[\frac{a-b}{a+b}=\frac{\text{tg}\frac{\angle A-\angle B}{2}}{\text{tg}\frac{\angle A+\angle B}{2}}\qquad (1)\]

Так как сумма углов любого треугольника равна 180^{\circ}, то \angle A+\angle B=180^{\circ}-\angle C=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}. Таким образом, равенство (1) будет иметь вид

    \[\frac{2-1}{2+1}=\frac{\text{tg}\frac{\angle A-\angle B}{2}}{\text{tg}\frac{120^{\circ}}{2}}\]

откуда

    \[\text{tg}\frac{\angle A-\angle B}{2}=\frac{1}{3}\text{tg}60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]

Из последнего равенства следует, что \frac{\angle A-\angle B}{2}=30^{\circ}. Учитывая также, что \angle A+\angle B=120^{\circ}, получаем \angle A=90^{\circ} и \angle C=30^{\circ}.

Ответ \angle A=90^{\circ}, \quad \angle C=30^{\circ}