Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы тангенсов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тангенсом угла \alpha называется отношения синуса угла к косинусу этого же угла. Тангенс угла \alpha обозначается \text{tg}\alpha. Тогда

    \[\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\]

Тангенс половинного угла

    \[\text{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\]

Также тангенс половинного угла выражается в виде

    \[\text{tg}\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}\]

Через тангенс половинного угла можно выразить все тригонометрические функции:

    \[\sin \alpha =\frac{2\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}, \quad \cos \alpha =\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}, \quad \text{tg}\alpha =\frac{2\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}, \quad \text{tg}\alpha =\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}{2\text{tg}\frac{\alpha }{2}}\]

Тангенс двойного угла

    \[\text{tg}2\alpha =\frac{2\text{tg}\alpha }{1-\text{tg}^{2}\alpha }\]

Тангенс тройного угла

    \[\text{tg}3\alpha =\frac{3\text{tg}\alpha -\text{tg}^{3}\alpha }{1-3\text{tg}^{2}\alpha}\]

Сумма тангенсов

    \[\text{tg}\alpha +\text{tg}\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cdot \cos \beta }\]

Разность тангенсов

    \[\text{tg}\alpha -\text{tg}\beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cdot \cos \beta }\]

Тангенс суммы двух углов

    \[\text{tg}(\alpha +\beta )=\frac{\text{tg}\alpha +\text{tg}\beta }{1-\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta }\]

Тангенс разности двух углов

    \[\text{tg}(\alpha -\beta )=\frac{\text{tg}\alpha -\text{tg}\beta }{1+\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta }\]

Квадрат тангенса

    \[\text{tg}^{2}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\]

ТЕОРЕМА
Теорема тангенсов. Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов:

    \[\frac{a-b}{a+b}=\frac{\text{tg}\frac{\alpha -\beta }{2}}{\text{tg}\frac{\alpha +\beta }{2}}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Дано \text{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{6}{5}. Найти \sin \alpha ,\quad \cos \alpha ,\quad \text{tg}\alpha ,\quad \text{ctg}\alpha
Решение Воспользуемся формулами для выражения тригонометрических функций через тангенс половинного угла:

    \[\sin \alpha =\frac{2\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}=\frac{2\cdot \frac{6}{5}}{1+{{\left( \frac{6}{5} \right)}^{2}}}=\frac{60}{61}, \quad \cos \alpha =\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}=\frac{1-{{\left( \frac{6}{5} \right)}^{2}}}{1+{{\left( \frac{6}{5} \right)}^{2}}}=-\frac{11}{61}\]

    \[\text{tg}\alpha =\frac{2\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}=\frac{2\cdot \frac{6}{5}}{1-{{\left( \frac{6}{5} \right)}^{2}}}=-\frac{60}{11}, \quad \text{ctg}\alpha =\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}{2\text{tg}\frac{\alpha }{2}}=\frac{1-{{\left( \frac{6}{5} \right)}^{2}}}{2\cdot \frac{6}{5}}=-\frac{11}{60}\]

Ответ \sin \alpha =\frac{60}{61}, \quad \cos \alpha =-\frac{11}{61}, \quad \text{tg}\alpha =-\frac{60}{11}, \quad \text{ctg}\alpha =-\frac{11}{60}
ПРИМЕР 2
Задание Доказать тождество

    \[ \text{tg}30^{\circ }+\text{tg}40^{\circ }+\text{tg}50^{\circ }+\text{tg}60^{\circ }=\frac{8\sqrt{3}\cos 20^{\circ }}{3} \]

Доказательство Левую часть тождества перегруппируем и применим формулу суммы тангенсов

    \[  \text{tg}30^{\circ}+\text{tg}40^{\circ}+\text{tg}50^{\circ}+\text{tg}60^{\circ}=(\text{tg}{{30}^{\circ }}+\text{tg}60^{\circ})+(\text{tg}40^{\circ}+\text{tg}50^{\circ})=\]

    \[  =\frac{\sin (30^{\circ}+60^{\circ})}{\cos 30^{\circ}\cdot \cos 60^{\circ}}+\frac{\sin (40^{\circ}+50^{\circ})}{\cos 40^{\circ}\cdot \cos 50^{\circ}}=\frac{1}{\cos 30^{\circ}\cdot \cos 60^{\circ}}+\frac{1}{\cos 40^{\circ}\cdot \cos 50^{\circ}}\]

К выражениям в знаменателях применим формулу произведения косинусов:

    \[  \frac{1}{\cos 30^{\circ}\cdot \cos 60^{\circ}}+\frac{1}{\cos 40^{\circ}\cdot \cos 50^{\circ}}=\frac{1}{\frac{1}{2}(\cos (30^{\circ}-60^{\circ})+\cos (30^{\circ}+60^{\circ}))}+ \]

    \[  +\frac{1}{\frac{1}{2}(\cos (40^{\circ}-50^{\circ})+\cos (40^{\circ}+50^{\circ}))}=\frac{2}{\cos 30^{\circ}}+\frac{2}{\cos 10^{\circ}}=\frac{2(\cos 10^{\circ}+\cos 30^{\circ})}{\cos 10^{\circ}\cos 30^{\circ}}= \]

    \[  =\frac{4\cos 20^{\circ}\cos 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}\cos 30^{\circ}}=\frac{8\cos 20^{\circ}}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}\cos 20^{\circ}}{3}\]

Что и требовалось доказать.