Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тангенс разности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тангенс разности двух углов вычисляется по формуле

    \[    \text{tg}(\alpha -\beta )=\frac{\text{tg}\alpha -\text{tg}\beta }{1+\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta }\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить \text{tg}15^{\circ}
Решение Представим угол 15^{\circ} в виде разности 60^{\circ}-45^{\circ} и применим формулу для вычисления тангенса разности углов:

    \[\text{tg}15^{\circ}=\text{tg}(60^{\circ}-45^{\circ})=\frac{\text{tg}60^{\circ}-\text{tg}45^{\circ}}{1+\text{tg}60^{\circ}\cdot \text{tg}45^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\]

Ответ \text{tg}105^{\circ}=2-\sqrt{3}
ПРИМЕР 2
Задание Решить уравнение \sqrt{3}-\text{tg}x=\text{tg}\left( \frac{\pi }{3}-x \right)
Решение Преобразуем данное уравнение следующим образом:

    \[\sqrt{3}-\text{tg}x=\frac{\text{tg}\frac{\pi }{3}-\text{tg}x}{1+\text{tg}\frac{\pi }{3}\cdot \text{tg}x}, \quad \sqrt{3}-\text{tg}x=\frac{\sqrt{3}-\text{tg}x}{1+\sqrt{3}\cdot \text{tg}x}\]

Домножим полученное равенство 1+\sqrt{3}\cdot \text{tg}x перенесем все в левую сторону:

    \[(\sqrt{3}-\text{tg}x)(1+\sqrt{3}\cdot \text{tg}x)-(\sqrt{3}-\text{tg}x)=0\]

или

    \[(\sqrt{3}-\text{tg}x)(\sqrt{3}\cdot \text{tg}x)=0\]

Приравняем каждую из полученных скобок к нулю и найдем корни уравнения

    \[\sqrt{3}-\text{tg}x=0\Rightarrow \text{tg}x=\sqrt{3}\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+\pi n,n\in Z\]

и

    \[\sqrt{3}\cdot \text{tg}x=0\text{ }\Rightarrow \text{ }x=\pi k,k\in Z\]

Ответ x=\frac{\pi }{3}+\pi n,n\in Z, \quad \text{ }x=\pi k,k\in Z