Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Разность тангенсов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Разность тангенсов двух углов \alpha и \beta равна отношению синуса разности \alpha -\beta к произведению косинусов этих углов:

    \[ \text{tg}\alpha -\text{tg}\beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cdot \cos \beta }\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Упростить выражение \text{tg}(45^{\circ}-2\alpha )-\text{tg}(135^{\circ}-2\alpha )
Решение Воспользуемся формулой разности тангенсов

    \[\text{tg}(45^{\circ}-2\alpha )-\text{tg}(135^{\circ}-2\alpha )=\frac{\sin (45^{\circ}-2\alpha -135^{\circ}+2\alpha )}{\cos (45^{\circ}-2\alpha )\cdot \cos (135^{\circ}-2\alpha )}=\]

    \[=\frac{\sin (-90^{\circ})}{\cos (45^{\circ}-2\alpha )\cdot \cos (135^{\circ}-2\alpha )}\]

Так как синус – функция нечетная, то \sin (-90^{\circ})=-\sin 90^{\circ}=-1, а к выражению в знаменателе применим формулу произведения косинусов

    \[\frac{\sin (-90^{\circ})}{\cos (45^{\circ}-2\alpha )\cdot \cos (135^{\circ}-2\alpha )}=-\frac{2}{\cos (-90^{\circ})+\cos (180-4\alpha )}\]

Косинус функция четная, а значит \cos (-90^{\circ})=\cos 90^{\circ}=0 и \cos (180^{\circ}-4\alpha )=-\cos 4\alpha, т.е. окончательно можно записать, что

    \[\text{tg}(45^{\circ}-2\alpha )-\text{tg}(135^{\circ}-2\alpha )=\frac{2}{\cos 4\alpha }\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти значение выражения \text{tg}\frac{11\pi }{12}-\text{tg}\frac{5\pi }{12}
Решение Представим искомую разность в виде

    \[\text{tg}\frac{11\pi }{12}-\text{tg}\frac{5\pi }{12}=\frac{\sin \left( \frac{11\pi }{12}-\frac{5\pi }{12} \right)}{\cos \frac{11\pi }{12}\cdot \cos \frac{5\pi }{12}}=\frac{\sin \frac{\pi }{2}}{\frac{1}{2}\left( \cos \frac{\pi }{2}+\cos \frac{4\pi }{3} \right)}=\frac{2}{\cos \left( \pi +\frac{\pi }{3} \right)}=\frac{2}{-\frac{1}{2}}=-4\]

Ответ \text{tg}\frac{11\pi }{12}-\text{tg}\frac{5\pi }{12}=-4