Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тангенс угла

Определение и формула тангенса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету. Тангенс угла \alpha обозначается \text{tg}\alpha.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (изображен на рисунке) с \angle C=90^{\circ}, \quad \angle A=\alpha , \quad \angle B=\beta, гипотенузой AB=c и катетами AC=b и BC=a. Тогда

    \[\text{tg}\alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}, \quad \text{tg}\beta =\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}\]

Рассмотрим тригонометрическую окружность радиуса 1 с центром в начале координат.

Выберем произвольный угол \alpha, которому на окружности соответствует точка A(x_{0},y_{0}). Опустим перпендикуляры на оси координат, тогда

    \[\text{tg}\alpha =\frac{AB}{OB}=\frac{y_{0}}{x_{0}}\]

т.е. тангенс угла это отношение ординаты точки А к абсциссе. Так как синус угла равен значению ординаты точки А, а косинус угла равен значению абсциссы, то

    \[\text{tg}\alpha =\frac{y_{0}}{x_{0}}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\]

Функция y=\text{tg}\ x периодическая с периодом T=180^{\circ}, т.е.

    \[\text{tg}(180^{\circ}+\alpha )=\text{tg}\alpha \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB=4 см и AC=6 см найти тангенсы углов B и C.
Решение Так как тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то можем записать, что

    \[\text{tg}\angle B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}, \quad \text{tg}\angle C=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\]

Ответ \text{tg}\angle B=\frac{2}{3}, \quad \text{tg}\angle C=\frac{3}{2}
ПРИМЕР 2
Задание Найти \text{tg}\alpha, если

    \[ \frac{4\cos \alpha +5\sin \alpha }{\sin \alpha -3\cos \alpha }=2 \]

Решение Преобразуем заданное выражение следующим образом:

    \[4\cos \alpha +5\sin \alpha =2(\sin \alpha -3\cos \alpha )\]

или

    \[3\sin \alpha =-10\cos \alpha \Rightarrow \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{10}{3}\]

Так как \text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }, то получаем, что

    \[\text{tg}\alpha =-\frac{10}{3}\]

Ответ \text{tg}\alpha =-\frac{10}{3}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.