Тангенс половинного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Формула для тангенса половинного угла

$\text{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }$

Также тангенс половинного угла можно записать в виде

$\text{tg}\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$

При решении различных задач часто используют выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла

$\sin \alpha =\frac{2\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}; \quad \cos \alpha =\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ , если $\text{tg}\frac{\alpha }{2}=3$

Решение

Выразим синус и косинус по формуле выше

$\sin \alpha =\frac{2\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}=\frac{2\cdot 3}{1+{{3}^{3}}}=\frac{6}{10}=\frac{2}{5}$

$\cos \alpha =\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}=\frac{1-{{3}^{2}}}{1+{{3}^{2}}}=-\frac{8}{10}=-\frac{4}{5}$

Ответ

$\sin \alpha =\frac{2}{5}, \quad \cos \alpha =-\frac{4}{5}$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти значение $\text{tg}\frac{\alpha }{2}$ , если известно, что $\sin \alpha -\cos \alpha =1,4$

Решение

Воспользуемся формулами для выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла и подставим их в данное равенство

$\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{2\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}-\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}=1,4$