Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тангенс половинного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Формула для тангенса половинного угла

    \[ \text{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha } \]

Также тангенс половинного угла можно записать в виде

    \[\text{tg}\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}\]

При решении различных задач часто используют выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла

    \[\sin \alpha =\frac{2\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}; \quad \cos \alpha =\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти \sin \alpha и \cos \alpha, если \text{tg}\frac{\alpha }{2}=3
Решение Выразим синус и косинус по формуле выше

    \[\sin \alpha =\frac{2\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}=\frac{2\cdot 3}{1+{{3}^{3}}}=\frac{6}{10}=\frac{2}{5}\]

    \[\cos \alpha =\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}=\frac{1-{{3}^{2}}}{1+{{3}^{2}}}=-\frac{8}{10}=-\frac{4}{5}\]

Ответ \sin \alpha =\frac{2}{5}, \quad \cos \alpha =-\frac{4}{5}
ПРИМЕР 2
Задание Найти значение \text{tg}\frac{\alpha }{2}, если известно, что \sin \alpha -\cos \alpha =1,4
Решение Воспользуемся формулами для выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла и подставим их в данное равенство

    \[\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{2\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}-\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}=1,4\]

Пусть \text{tg}\frac{\alpha }{2}=x, тогда получим уравнение

    \[\frac{2x}{1+x^{2}}-\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}=1,4\]

или

    \[x^{2}-5+6=0\]

Решив это уравнение с помощью, например, теоремы Виета, получим x_{1}=2 и x_{2}=3. Итак,

    \[\text{tg}\frac{\alpha }{2}=2; \quad \text{tg}\frac{\alpha }{2}=3\]

Ответ \text{tg}\frac{\alpha }{2}=2; \text{tg}\frac{\alpha }{2}=3