Синус умножить на косинус

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Произведения синуса на косинус определяется формулой

$\sin \alpha \cdot \cos \beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )+\sin (\alpha +\beta )}{2}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить $\sin {{75}^{^{\circ}}}\cdot \cos {{15}^{\circ}}$

Решение

Найдем искомое произведение с помощью формулы умножения синуса на косинус:

$\sin {{75}^{\circ}}\cdot \cos {{15}^{\circ}}=\frac{\sin ({{75}^{\circ}}-{{15}^{\circ}})+\sin ({{75}^{\circ}}+{{15}^{\circ}})}{2}=$

$=\frac{\sin {{60}^{\circ}}+\sin {{90}^{\circ}}}{2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+1}{2}=\frac{\sqrt{3}+2}{4}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Вычислить интеграл

$\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\sin 3x\cdot \cos xdx}$

Решение

Преобразуем подынтегральное выражение с помощью формулы произведения синуса на косинус:

$\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\sin 3x\cdot \cos xdx}=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sin (3x-x)+\sin (3x+x)}{2}dx}=$

$=\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{(\sin 2x+\sin 4x)dx=}=\frac{1}{2}\left( \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\sin 2xdx+\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\sin 4x}dx} \right)$

Вычислим отдельно каждый интеграл

$\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\sin 2xdx=\frac{1}{2}}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\sin 2xd(2x})=-\left. \frac{1}{2}\cos 2x \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}=-\frac{1}{2}\left( \cos \frac{2\pi }{3}-\cos \frac{2\pi }{6} \right)=$

$=-\frac{1}{2}\left( -\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}$

$\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\sin 4xdx=\frac{1}{4}}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\sin 4xd(4x})=-\left. \frac{1}{4}\cos 4x \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}=-\frac{1}{4}\left( \cos \frac{4\pi }{3}-\cos \frac{4\pi }{6} \right)=$

$=-\frac{1}{4}\left( -\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \right)=0$

Окончательно получим

$\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\sin 3x\cdot \cos xdx=}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}+0 \right)=\frac{1}{4}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Синус умножить на косинус

Примеры решения задач