Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тангенс в квадрате

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадрат тангенса угла можно выразить через косинус двойного угла в виде формулы:

    \[ \text{tg}^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти значение \text{tg}\alpha, если известно, что \cos 2\alpha =\frac{1}{3}, угол \alpha лежит в первой четверти.
Решение Воспользуемся формулой для тангенса в квадрате и подставим в нее значение \cos 2\alpha =\frac{1}{3}:

    \[\text{tg}^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }=\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{2}\]

откуда

    \[\text{tg}\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}\]

Ответ \text{tg}\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить \text{tg}\frac{\pi }{12}
Решение Запишем значение

    \[\text{tg}^{2}}\frac{\pi }{12}=\frac{1-\cos \frac{\pi }{6}}{1+\cos \frac{\pi }{6}}\]

Известно, что \cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, поэтому

    \[\text{tg}^{2}}\frac{\pi }{12}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=7+4\sqrt{3}\]

Тогда \text{tg}\frac{\pi }{12}=\sqrt{7+4\sqrt{3}}.

Ответ \text{tg}\frac{\pi }{12}=\sqrt{7+4\sqrt{3}}