Тангенс в квадрате

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Квадрат тангенса угла можно выразить через косинус двойного угла в виде формулы:

$\text{tg}^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти значение $\text{tg}\alpha$ , если известно, что $\cos 2\alpha =\frac{1}{3}$ , угол $\alpha$ лежит в первой четверти.

Решение

Воспользуемся формулой для тангенса в квадрате и подставим в нее значение $\cos 2\alpha =\frac{1}{3}$ :

$\text{tg}^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }=\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{2}$

откуда

$\text{tg}\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$

Ответ

$\text{tg}\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$

ПРИМЕР 2

Задание

Вычислить $\text{tg}\frac{\pi }{12}$

Решение

Запишем значение

$\text{tg}^{2}}\frac{\pi }{12}=\frac{1-\cos \frac{\pi }{6}}{1+\cos \frac{\pi }{6}}$

Известно, что $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , поэтому

$\text{tg}^{2}}\frac{\pi }{12}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=7+4\sqrt{3}$

Тогда $\text{tg}\frac{\pi }{12}=\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ .

Ответ

$\text{tg}\frac{\pi }{12}=\sqrt{7+4\sqrt{3}}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!