Пружинный маятник
Определения и формулы пружинного маятника
Рис.1. Пружинный маятник: а) в положении равновесия; б) в состоянии колебаний
Когда пружина не деформирована, тело находится в положении равновесия (рис.1,а). Если растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, на него будет действовать сила упругости со стороны деформированной пружины. Эта сила направлена к положению равновесия и в данном случае является возвращающей силой.
Сила упругости в пружинном маятнике
Сила упругости пропорциональна смещению тела (удлинению пружины):
здесь — коэффициент жесткости пружины.
В положении, соответствующем максимальному отклонению тела от положения равновесия (смещение тела равно амплитуде колебаний) сила упругости максимальна, поэтому максимально и ускорение тела. По мере приближения тела к положению равновесия удлинение пружины уменьшается, и, следовательно, уменьшается ускорение тела, которое обусловлено силой упругости. Достигнув положения равновесия, тело не остановится, хотя в этот момент сила упругости равна нулю. Скорость тела в момент прохождения им положения равновесия имеет максимальное значение, и тело по инерции будет двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости будет тормозить тело, так как теперь она направлена в сторону, противоположную движению тела. Дойдя до крайнего положения, тело остановится и начнет движение в противоположном направлении. Движение тела будет повторяться в описанной последовательности.
Таким образом, причинами свободных колебаний пружинного маятника является сила упругости деформированной пружины (возвращающая сила) и инертность тела.
Период свободных колебаний пружинного маятника
Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле:
Примеры решения задач
Задание | На какое расстояние надо отвести от положения равновесия груз массой 640 г, закрепленный на пружине жесткостью 0,4 кН/м, чтобы он проходил положение равновесия со скоростью 1 м/с? |
Решение | Движение пружинного маятника происходит по гармоническому закону:
Начальная фаза колебаний в данном случае равна нулю, поэтому можно записать:
Положение равновесия тело проходит с максимальной скоростью. Найдем закон изменения скорости тела со временем:
откуда максимальное значение скорости:
Период колебаний пружинного маятника определяется формулой:
Подставив значение циклической частоты в соотношение для максимальной скорости, получим:
откуда амплитуда колебаний маятника:
Переведем единицы в систему СИ: масса груза г кг; коэффициент жесткости пружины кН/м Н/м. Вычислим:
|
Ответ | Груз нужно отвести на расстояние 4 см от положения равновесия. |
Задание | Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить гирю массой 100 г, то частота колебаний маятника уменьшится в 1,5 раза. Какой массы груз был первоначально подвешен к пружине? |
Решение | Период колебаний пружинного маятника определяется формулой:
Частота колебаний маятника:
Частота колебаний маятника до того, как подвесили гирю:
Частота колебаний маятника после того, как подвесили гирю:
По условию задачи , т.е. можно записать:
Возведем обе части в квадрат и найдем массу первоначального груза:
Переведем единицы в систему СИ: масса гири г кг. Вычислим:
|
Ответ | Первоначально к пружине был подвешен груз массой 80 г. |