Извлечение корня из комплексного числа
Невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа, поскольку он имеет число значений, равное его степени.
Комплексные числа возводят в степень в тригонометрической форме, для которой верна формула Муавра:
Аналогично применяют данную формулу для вычисления корня степени из комплексного числа (не равного нулю):
Если комплексное число не равно нулю, то корни степени существуют всегда, и их можно изобразить на комплексной плоскости: они будут представлять собой вершины -угольника, который вписан в окружность с центром в начале координат и радиусом .
Примеры решения задач
Задание | Найти корень 3-й степени из числа . |
Решение | Для начала выразим число в тригонометрической форме. Действительной частью числа является число , мнимой частью является . Для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа нужно найти его модуль и аргумент.
Модулем комплексного числа является число:
Аргумент вычисляется по формуле:
Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: . Тогда корень 3-й степени находится следующим образом:
Для получаем:
Для получаем:
Для получаем:
|
Ответ |
Задание | Извлечь корень 2-й степени из числа . |
Решение | Для начала выразим комплексное число в тригонометрической форме.
Действительной частью комплексного числа является число , мнимой частью является . Для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа нужно найти его модуль и аргумент. Модулем комплексного числа является число:
Аргумент равен:
Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:
Применяя формулу для извлечения корня 2-й степени, получаем:
Для получаем:
Для получаем:
|
Ответ |