Извлечение корня из комплексного числа
Невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа, поскольку он имеет число значений, равное его степени.
Комплексные числа возводят в степень в тригонометрической форме, для которой верна формула Муавра:
Аналогично применяют данную формулу для вычисления корня степени из комплексного числа (не равного нулю):
Если комплексное число не равно нулю, то корни степени существуют всегда, и их можно изобразить на комплексной плоскости: они будут представлять собой вершины
-угольника, который вписан в окружность с центром в начале координат и радиусом
.
Примеры решения задач
Задание | Найти корень 3-й степени из числа ![]() |
Решение | Для начала выразим число ![]() ![]() ![]() ![]() Модулем комплексного числа Аргумент вычисляется по формуле: Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: Тогда корень 3-й степени находится следующим образом: Для Для Для |
Ответ | ![]() |
Задание | Извлечь корень 2-й степени из числа ![]() |
Решение | Для начала выразим комплексное число в тригонометрической форме.
Действительной частью комплексного числа Модулем комплексного числа Аргумент равен: Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: Применяя формулу для извлечения корня 2-й степени, получаем: Для Для |
Ответ | ![]() |
