Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Извлечение корня из комплексного числа

Невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа, поскольку он имеет число значений, равное его степени.

Комплексные числа возводят в степень в тригонометрической форме, для которой верна формула Муавра:

    \[    z^{k} = r^{k} (\cos k \varphi + i \sin k \varphi),\text{ } \forall k \in N \]

Аналогично применяют данную формулу для вычисления корня степени k из комплексного числа (не равного нулю):

    \[    z^{\frac{1}{k}} = \left( r (\cos (\varphi + 2\pi n) + i \sin ( \varphi + 2\pi n) ) \right)^{\frac{1}{k}} =  \]

    \[    = r^{\frac{1}{k}}  \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi n}{k} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi n}{k} \right), \text{ } \forall k >1 , \text{ } \forall n \in N , \text{ } n < k \]

Если комплексное число не равно нулю, то корни степени k существуют всегда, и их можно изобразить на комплексной плоскости: они будут представлять собой вершины k-угольника, который вписан в окружность с центром в начале координат и радиусом r^{\frac{1}{k}} .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти корень 3-й степени из числа z=-1 .
Решение Для начала выразим число z=-1 в тригонометрической форме. Действительной частью числа z=-1 является число x = \text{Re } z=-1, мнимой частью является y = \text{Im } z=0. Для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа нужно найти его модуль и аргумент.

Модулем комплексного числа z является число:

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+0}=1 \]

Аргумент вычисляется по формуле:

    \[    \varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{0}{-1} = \text{arctg } 0 = \pi \]

Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: z = 1 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) .

Тогда корень 3-й степени находится следующим образом:

    \[    z^{\frac{1}{3}} = \left( 1 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) \right)^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) ^{\frac{1}{3}} =  \]

    \[    = \cos \frac{\pi + 2 \pi n}{3} + i \sin \frac{\pi + 2 \pi n}{3}, \text{ }n=0, 1, 2 \]

Для n=0 получаем:

    \[   \omega _{1} = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Для n=1 получаем:

    \[   \omega _{2} = \cos \pi + i \sin \pi= -1+i \cdot 0 = -1 \]

Для n=2 получаем:

    \[   \omega _{3} = \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{-\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Извлечь корень 2-й степени из числа z=1-\sqrt{3}i .
Решение Для начала выразим комплексное число в тригонометрической форме.

Действительной частью комплексного числа z=1-\sqrt{3}i является число x=\text{Re }z=1, мнимой частью является y=\text{Im }z=-\sqrt{3}. Для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа нужно найти его модуль и аргумент.

Модулем комплексного числа r является число:

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2 \]

Аргумент равен:

    \[    \varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{-\sqrt{3}}{1} = \text{arctg } (-\sqrt{3}) = \frac{2 \pi}{3} \]

Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:

    \[    z = 2 \left( \cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3} \right) \]

Применяя формулу для извлечения корня 2-й степени, получаем:

    \[    z^{\frac{1}{2}} = \left( 2 \left( \cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3} \right) \right)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} \left( \cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3} \right) ^{\frac{1}{2}} =  \]

    \[    = \sqrt{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) \right), \text{ }n=0, 1 \]

Для n=0 получаем:

    \[   \omega _{1} = \sqrt{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{3} + 0 \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{3} + 0 \right) \right) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{6}}{2} \]

Для n=1 получаем:

    \[   \omega _{2} = \sqrt{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{3} + \pi \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{3} + \pi \right) \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{6}}{2} \]

Ответ