Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Комплексные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Комплексные числа – это числа вида z=x+iy, где x, y – действительные числа, i – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению i^{2}=-1.

Число x называется действительной частью комплексного числа z и имеет обозначение x = \text{Re } z.

Число y называется мнимой частью комплексного числа z и имеет обозначение y = \text{Im } z.

Например. z=5-13i — комплексное число, действительной частью которого является вещественное число x=\text{Re }z=5, а мнимой частью – вещественное число y=\text{Im }z=-13.

Если действительная часть комплексного числа равна нулю (x=\text{Re }z=0), комплексное число называется чисто мнимым.

Например. z=8i, где x=\text{Re }z=0, y = \text{Im } z=8.

Комплексные числа являются расширением действительных (вещественных) чисел. Любое действительное число x может быть записано в форме комплексного числа: x+0i,\text{ }x-0i .

Например. Комплексные числа 5+0i,\text{ }5-0i обозначают действительное число 5.

Равенство комплексных чисел

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Два комплексных числа z_{1}=x_{1}+iy_{1} и z_{2}=x_{2}+iy_{2} называются равными, если x_{1}=x_{2}, y_{1}=y_{2}, т.е. равны их действительные и мнимые части.

В противном случае комплексные числа называются неравными.

ПРИМЕР
Задание Определить, при каких x и y два комплексных числа z_{1}=x+21i и z_{2}=-15+iy являются равными.
Решение По определению два комплексных числа являются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. x=-15, \text{ }21=y .
Ответ x=-15, \text{ }y=21

Комплексно сопряженные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сопряженным (или комплексно сопряженным) числом к комплексному числу z=x+iy называется число \overline{z}=x-iy .
ПРИМЕР
Задание Найти для комплексного числа z=-14+56i его сопряженное число.
Решение Комплексно сопряженным числом является число вида \overline{z}=x-iy. Действительной частью комплексного числа z=-14+56i является число x=\text{Re }z=-14, мнимой частью является y=\text{Im }z=56 .

Следовательно, сопряженное число имеет вид: \overline{z}=-14-56i .

Ответ \overline{z}=-14-56i

Подробнее про комплексно сопряженные числа читайте в отдельной статье: Комплексно сопряженные числа.

Противоположные комплексные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Противоположным к комплексному числу z=x+iy является комплексное число -z=-x-iy .
ПРИМЕР
Задание Найти противоположное число к комплексному числу z=189-73i .
Решение Действительной частью комплексного числа z=189-73i является число x=\text{Re }z=189, мнимой частью – число y=\text{Im }z=-73 .

Следовательно, противоположным числом -z=-x-iy будет являться число -z=-189+73 .

Ответ -z=-189+73