Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Возведение в степень комплексного числа

Удобнее всего возводить в степень комплексные числа, которые записаны в показательной или тригонометрической форме.

Возведение в степень в показательной форме

Для возведения в степень комплексных чисел в показательной форме верна формула:

    \[    z^{k} = \left( r e^{i \varphi} \right)^{k} = r^{k} e^{i k \varphi}, \text{ } k \in Z \]

ПРИМЕР
Задание Возвести в квадрат число z = \sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4}i} .
Решение Модуль комплексного числа z = \sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4}i} равен \sqrt{2} . Следовательно, квадрат числа равен:

    \[    z^{2} = \left( \sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4}i} \right)^{2} = \left( \sqrt{2} \right)^{2} e^{2\frac{\pi}{4}i} = 2 e^{\frac{\pi}{2}i} \]

Ответ z^{2} = 2 e^{\frac{\pi}{2}i}

Возведение в степень в тригонометрической форме

Обычно комплексные числа принято возводить в степень в тригонометрической форме, для которой верна формула Муавра: z^{k} = r^{k} (\cos k \varphi + i \sin k \varphi),\text{ } \forall k \in N .

Данная формула непосредственно следует из формулы Эйлера, связывающей между собой тригонометрические и показательные функции: e^{i \varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi , поскольку

    \[    z^{k} = \left( r (\cos \varphi + i \sin \varphi) \right)^{k} = r^{k} (\cos \varphi + i \sin \varphi)^{k} = r^{k} e^{i k \varphi} = r^{k} (\cos k \varphi + i \sin k \varphi) \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Возвести в квадрат число z = \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) .
Решение Применяя формулу Муавра для квадрата числа и описанные выше формулы, получаем:

    \[    z^{2} = \left( \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) \right) ^{2} = \left( \sqrt{2} \right) ^{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) ^{2} =  \]

    \[    = 2 \left( \cos 2 \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin 2 \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) = 2 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Возвести в 10-ю степень число z=1+i .
Решение Для начала выразим комплексное число в тригонометрической форме.

Действительной частью комплексного числа z=1+i является число x = \text{Re } z = 1 мнимой частью является y = \text{Im } z=1 . Для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа нужно найти его модуль и аргумент.

Модулем комплексного числа z является число r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} . Аргумент вычисляется по формуле:

    \[    \varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{1}{1} = \text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4} \]

Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:

    \[    z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \]

Применяя формулу Муавра для возведения в степень, получаем:

    \[    z^{10} = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^{10} = \left( \sqrt{2} \right) ^{10} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) ^{10} =  \]

    \[    = 32 \left( \cos \left( 10 \cdot \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( 10 \cdot  \frac{\pi}{4} \right) \right) = 32 \left( \cos \frac{5\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}2} \right) = 32 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}2} \right) \]

Ответ