Аргумент комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Угол $\varphi$ (измеряемый в радианах) радиус-вектора точки, которая соответствует комплексному числу $z$ на комплексной плоскости, называется аргументом числа $z: \varphi = \arg z$ . В таком случае вещественные числа $x, y$ комплексного числа $z=x+iy$ можно выразить через модуль $r$ и аргумент $\varphi: x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi$ .

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Если рассмотреть плоскость с прямоугольной системой координат, то любому комплексному числу $z=x+iy$ можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами: $\left\{ x, y \right\}$ , и радиус-вектор $r$ комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу.

Данная плоскость называется комплексной. Действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модулем комплексного числа $z=x+iy$ называется выражение $r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .

ПРИМЕР

Задание	Найти модуль числа $z=3-i$ .
Решение	Действительной частью комплексного числа $z=3-i$ является число $x = \text{Re } z = 3$ , мнимой частью является $y = \text{Im } z=-1$ . $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$
Ответ	$r=\sqrt{10}$

Свойства аргумента

$\text{tg } \varphi = \frac{y}{x}, \text{ }\text{ctg } \varphi = \frac{x}{y}, \text{ } \sin \varphi = \frac{y}{r}, \text{ } \cos \varphi = \frac{x}{r}$
Для комплексного числа $z \neq 0$ аргумент определяется с точностью до $2 \pi n, \text{ }n \in Z$ .
Для $z=0$ значение аргумента не определено.
Главным значением аргумента называется число $\varphi \in (-\pi; \text{ } \pi]$ . Для обратного числа выполняется свойство: $\arg \left( \frac{1}{z} \right) = - \arg z$ .

Аргумент в тригонометрической форме комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тригонометрической формой комплексного числа $z=x+iy$ , не равного нулю, называется запись $z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$ где $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ — модуль комплексного числа $z, \varphi = \arg z$ .

ПРИМЕР

Задание

Найти аргумент комплексного числа $z=1+\sqrt{3}i$ и выразить его в тригонометрической форме.

Решение

Действительной частью комплексного числа $z=1+\sqrt{3}i$ является число $x = \text{Re } z=1$ мнимой частью является $y = \text{Im } z=\sqrt{3}$ . Аргумент вычисляется по формуле:

$\varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{1} = \text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$

Для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа нужно также найти его модуль. Модулем комплексного числа $z$ является число:

$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$

Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:

$z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

Ответ

Аргумент равен $\frac{\pi}{3}$ . Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: $z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$ .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!