Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Аргумент комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Угол \varphi (измеряемый в радианах) радиус-вектора точки, которая соответствует комплексному числу z на комплексной плоскости, называется аргументом числа z: \varphi = \arg z . В таком случае вещественные числа x, y комплексного числа z=x+iy можно выразить через модуль r и аргумент \varphi: x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi.

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Если рассмотреть плоскость с прямоугольной системой координат, то любому комплексному числу z=x+iy можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами: \left\{ x, y \right\}, и радиус-вектор r комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу.

Данная плоскость называется комплексной. Действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Модулем комплексного числа z=x+iy называется выражение r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} .
ПРИМЕР
Задание Найти модуль числа z=3-i .
Решение Действительной частью комплексного числа z=3-i является число x = \text{Re } z = 3, мнимой частью является y = \text{Im } z=-1.

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10} \]

Ответ r=\sqrt{10}

Свойства аргумента

  1. \text{tg } \varphi = \frac{y}{x}, \text{ }\text{ctg } \varphi = \frac{x}{y}, \text{ } \sin \varphi = \frac{y}{r}, \text{ } \cos \varphi = \frac{x}{r}
  2. Для комплексного числа z \neq 0 аргумент определяется с точностью до 2 \pi n, \text{ }n \in Z.
    Для z=0 значение аргумента не определено.
  3. Главным значением аргумента называется число \varphi \in (-\pi; \text{ } \pi] . Для обратного числа выполняется свойство: \arg \left( \frac{1}{z} \right) = - \arg z .

Аргумент в тригонометрической форме комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тригонометрической формой комплексного числа z=x+iy, не равного нулю, называется запись z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) где r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} — модуль комплексного числа z, \varphi = \arg z.
ПРИМЕР
Задание Найти аргумент комплексного числа z=1+\sqrt{3}i и выразить его в тригонометрической форме.
Решение Действительной частью комплексного числа z=1+\sqrt{3}i является число x = \text{Re } z=1 мнимой частью является y = \text{Im } z=\sqrt{3}. Аргумент вычисляется по формуле:

    \[    \varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{1} = \text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \]

Для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа нужно также найти его модуль. Модулем комплексного числа z является число:

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 \]

Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:

    \[    z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \]

Ответ Аргумент равен \frac{\pi}{3}. Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) .