Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тригонометрической формой комплексного числа z=x+iy, не равного нулю, называется запись z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) где r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} — модуль комплексного числа z.

Также, в зависимости от решаемой задачи, вы можете перевести комплексное число в алгебраическую или показательную форму.

ПРИМЕР
Задание Выразить число z=1-i в тригонометрической форме.
Решение Действительной частью комплексного числа z=1-i является число x = \text{Re } z=1 мнимой частью является y = \text{Im } z=-1 . Для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа нужно найти его модуль и аргумент.

Модулем комплексного числа z является число

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2} \]

Аргумент вычисляется по формуле:

    \[    \varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{-1}{1} = \text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4} \]

Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:

    \[    z = \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) \]

Ответ

Геометрическое представление комплексного числа

Если рассмотреть плоскость с прямоугольной системой координат, то любому комплексному числу z=x+iy можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами \left\{ x, y \right\}, и радиус-вектор r комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу (рис. 1). Данная плоскость называется комплексной. Действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

Модуль и аргумент комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Модулем комплексного числа z=x+iy называется выражение r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} .
ПРИМЕР
Задание Найти модуль числа z=3-25i .
Решение Действительной частью комплексного числа z=3-25i является число x = \text{Re } z = 3, мнимой частью является y = \text{Im } z=-25. Следовательно, модуль числа

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{3^{2}+(-25)^{2}}=\sqrt{634} \]

Ответ r=\sqrt{634}

Если z является действительным числом, то его модуль r=|z| равен абсолютной величине этого действительного числа.

Например. z=-7, \text{ }r=|-7|=7

Свойства модуля

  1. |z| \geq 0
  2. |z|=0 в том и только том случае, если z=0
  3. |z_{1}+z_{2}| \leq |z_{1}|+|z_{2}|
  4. |z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|
  5. |z_{1} \div z_{2}| = |z_{1}| \div |z_{2}|
  6. |z_{1}-z_{2}| = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}, т.е. модуль разности комплексных чисел равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости.
ПРИМЕР
Задание Найти произведение модулей комплексных чисел z_{1}=1-i, \text{ }z_{2}=25i .
Решение Модуль комплексного числа z_{1}=1-i равен r_{1}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{2}, модуль комплексного числа z_{2}=25i равен r_{2}=\sqrt{0^{2}+25^{2}}=25. Следовательно,

    \[    r_{1} \cdot r_{2} = 25 \sqrt{2} \]

Ответ r_{1} \cdot r_{2} = 25 \sqrt{2}
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Угол \varphi (измеряемый в радианах) радиус-вектора точки, которая соответствует комплексному числу z на комплексной плоскости, называется аргументом числа z: \varphi = \arg z . В таком случае вещественные числа x, y комплексного числа z=x+iy можно выразить через модуль r и аргумент \varphi: x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi.

Свойства аргумента

  1. \text{tg } \varphi = \frac{y}{x}, \text{ }\text{ctg } \varphi = \frac{x}{y}, \text{ } \sin \varphi = \frac{y}{r}
  2. Для комплексного числа z \neq 0 аргумент определяется с точностью до 2 \pi n, \text{ }n \in Z.
    Для z=0 значение аргумента не определено.
  3. Главным значением аргумента называется число \varphi \in (-\pi; \text{ } \pi] . Для обратного числа выполняется свойство: \arg \left( \frac{1}{z} \right) = - \arg z .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Сравнение

Два комплексных числа z_{1} = r_{1} (\cos \varphi _{1} + i \sin \varphi _{1}) и z_{2} = r_{2} (\cos \varphi _{2} + i \sin \varphi _{2}) называются равными, если |z_{1}|=|z_{2}|, \text{ }\arg z_{1} = \arg z_{2} + 2 \pi n, \text{ }n \in Z

Умножение

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме верно равенство:

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} (\cos ( \varphi _{1} + \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} + \varphi _{2})) \]

ПРИМЕР
Задание Найти произведение комплексных чисел z_{1} = \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) и z_{2} = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4}  + i \sin \frac{\pi}{4} \right) .
Решение Произведение комплексных чисел равно:

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} (\cos ( \varphi _{1} + \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} + \varphi _{2})) =  \]

    \[    = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right) = 2 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) \]

Ответ

Подробнее про умножение комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел.

Деление

Частное комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:

    \[    z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos ( \varphi _{1} - \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} - \varphi _{2})) \]

Возведение в степень

Для возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме верна формула:

    \[    z^{k} = r^{k} (\cos k \varphi + i \sin k \varphi) \]

Подробнее про возведение в степень читайте в отдельной статье: Возведение в степень комплексного числа.