Тригонометрическая форма записи комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тригонометрической формой комплексного числа $z=x+iy$ , не равного нулю, называется запись $z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$ где $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ — модуль комплексного числа $z$ .

Также, в зависимости от решаемой задачи, вы можете перевести комплексное число в алгебраическую или показательную форму.

ПРИМЕР

Задание

Выразить число $z=1-i$ в тригонометрической форме.

Решение

Действительной частью комплексного числа $z=1-i$ является число $x = \text{Re } z=1$ мнимой частью является $y = \text{Im } z=-1$ . Для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа нужно найти его модуль и аргумент.

Модулем комплексного числа $z$ является число

$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$

Аргумент вычисляется по формуле:

$\varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{-1}{1} = \text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4}$

Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:

$z = \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right)$

Ответ

Геометрическое представление комплексного числа

Если рассмотреть плоскость с прямоугольной системой координат, то любому комплексному числу $z=x+iy$ можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами $\left\{ x, y \right\}$ , и радиус-вектор $r$ комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу (рис. 1). Данная плоскость называется комплексной. Действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

Модуль и аргумент комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модулем комплексного числа $z=x+iy$ называется выражение $r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .

ПРИМЕР

Задание	Найти модуль числа $z=3-25i$ .
Решение	Действительной частью комплексного числа $z=3-25i$ является число $x = \text{Re } z = 3$ , мнимой частью является $y = \text{Im } z=-25$ . Следовательно, модуль числа $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{3^{2}+(-25)^{2}}=\sqrt{634}$
Ответ	$r=\sqrt{634}$

Если $z$ является действительным числом, то его модуль $r=|z|$ равен абсолютной величине этого действительного числа.

Например. $z=-7, \text{ }r=|-7|=7$

Свойства модуля

$|z| \geq 0$
$|z|=0$ в том и только том случае, если $z=0$
$|z_{1}+z_{2}| \leq |z_{1}|+|z_{2}|$
$|z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$
$|z_{1} \div z_{2}| = |z_{1}| \div |z_{2}|$
$|z_{1}-z_{2}| = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}$ , т.е. модуль разности комплексных чисел равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости.

ПРИМЕР

Задание	Найти произведение модулей комплексных чисел $z_{1}=1-i, \text{ }z_{2}=25i$ .
Решение	Модуль комплексного числа $z_{1}=1-i$ равен $r_{1}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{2}$ , модуль комплексного числа $z_{2}=25i$ равен $r_{2}=\sqrt{0^{2}+25^{2}}=25$ . Следовательно, $r_{1} \cdot r_{2} = 25 \sqrt{2}$
Ответ	$r_{1} \cdot r_{2} = 25 \sqrt{2}$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Угол $\varphi$ (измеряемый в радианах) радиус-вектора точки, которая соответствует комплексному числу $z$ на комплексной плоскости, называется аргументом числа $z: \varphi = \arg z$ . В таком случае вещественные числа $x, y$ комплексного числа $z=x+iy$ можно выразить через модуль $r$ и аргумент $\varphi: x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi$ .

Свойства аргумента

$\text{tg } \varphi = \frac{y}{x}, \text{ }\text{ctg } \varphi = \frac{x}{y}, \text{ } \sin \varphi = \frac{y}{r}$
Для комплексного числа $z \neq 0$ аргумент определяется с точностью до $2 \pi n, \text{ }n \in Z$ .
Для $z=0$ значение аргумента не определено.
Главным значением аргумента называется число $\varphi \in (-\pi; \text{ } \pi]$ . Для обратного числа выполняется свойство: $\arg \left( \frac{1}{z} \right) = - \arg z$ .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Сравнение

Два комплексных числа $z_{1} = r_{1} (\cos \varphi _{1} + i \sin \varphi _{1})$ и $z_{2} = r_{2} (\cos \varphi _{2} + i \sin \varphi _{2})$ называются равными, если $|z_{1}|=|z_{2}|, \text{ }\arg z_{1} = \arg z_{2} + 2 \pi n, \text{ }n \in Z$

Умножение

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме верно равенство:

$z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} (\cos ( \varphi _{1} + \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} + \varphi _{2}))$

ПРИМЕР

Задание

Найти произведение комплексных чисел $z_{1} = \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)$ и $z_{2} = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$ .

Решение

Произведение комплексных чисел равно:

$z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} (\cos ( \varphi _{1} + \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} + \varphi _{2})) =$

$= \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right) = 2 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right)$

Ответ

Подробнее про умножение комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел.

Деление

Частное комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:

$z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos ( \varphi _{1} - \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} - \varphi _{2}))$

Возведение в степень

Для возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме верна формула:

$z^{k} = r^{k} (\cos k \varphi + i \sin k \varphi)$

Подробнее про возведение в степень читайте в отдельной статье: Возведение в степень комплексного числа.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Геометрическое представление комплексного числа

Модуль и аргумент комплексного числа

Свойства модуля

Свойства аргумента

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Сравнение

Умножение

Деление

Возведение в степень