Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула Эйлера для комплексных чисел

Формула Эйлера связывает между собой тригонометрические и показательные функции:

    \[    e^{i \varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi \]

где e – экспонента, i – мнимая единица.

Для комплексного числа z=x+iy выполняется:

    \[    e^{z} = e^{x+iy} = e^{x} \cdot e^{iy} \]

В случае, когда z – вещественное число (\text{Im } z = 0), получаем

    \[    e^{z} = e^{x+0i} = e^{x} \cdot e^{0} = e^{x} \]

Если z – чисто мнимое число (\text{Re } z = 0), верно следующее:

    \[    e^{z} = e^{0+iy} = e^{0} \cdot e^{iy} = e^{iy} \]

Тогда, используя формулу Эйлера, получаем:

    \[    e^{z} = e^{x} \cdot e^{iy} = e^{x} \cdot (\cos y + i \sin y) \]

Показательная форма комплексного числа

Пусть комплексное число z записано в тригонометрической форме z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi), где r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} — модуль комплексного числа. Используя формулу Эйлера, получаем

    \[    z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = r e^{i \varphi} \]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Показательной формой комплексного числа называется выражение z=r e^{i \varphi}, где r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} — модуль комплексного числа, e^{i \varphi} — расширение экспоненты на случай, когда показатель степени является комплексным числом.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Записать комплексное число z=-5i в показательной форме.
Решение Используя описанные выше формулы находим модуль и аргумент комплексного числа. Модуль:

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{0^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{25}=5 \]

Аргумент:

    \[    \varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{-5}{0} = \text{arctg } (-\infty) = -\frac{\pi}{2} \]

Используя формулу Эйлера, получаем показательную форму числа:

    \[    z=r e^{i \varphi} = 5 e^{-\frac{\pi}{2} i} \]

Ответ z= 5 e^{-\frac{\pi}{2} i}
ПРИМЕР 2
Задание Записать комплексное число z=-3+4i в показательной форме.
Решение Модуль комплексного числа z=-3+4i равен

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]

Аргумент равен:

    \[    \varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{4}{-3} = -\text{arctg } \frac{4}{3} \]

Следовательно, показательная форма имеет вид:

    \[    z=r e^{i \varphi} = 5 e^{-\text{arctg } \frac{4}{3} i} \]

Ответ z= 5 e^{-\text{arctg } \frac{4}{3} i}
ПРИМЕР 3
Задание Для комплексного числа в показательной форме z= 4 e^{\frac{\pi}{6} i} найти его алгебраическую форму.
Решение Используя формулу Эйлера для комплексных чисел, получаем:

    \[    z=4 e^{\frac{\pi}{6} i} = 4 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = 4 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = 2 \sqrt{3} + 2i \]

Ответ z=2 \sqrt{3} +2i