Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Модуль комплексного числа

Если рассмотреть плоскость с прямоугольной системой координат, то любому комплексному числу z=x+iy можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами: \left\{ x, y \right\}, и радиус-вектор r комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу.

Данная плоскость называется комплексной. Действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Модулем комплексного числа z=x+iy называется выражение r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} .

Таким образом, модуль вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей комплексного числа.

ПРИМЕР
Задание Найти модуль числа z=-5+15i .
Решение Действительной частью комплексного числа z=-5+15i является число x = \text{Re } z = -5, мнимой частью является y = \text{Im } z=15 . Следовательно, модуль числа – это выражение:

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{(-5)^{2}+15^{2}}=\sqrt{25+225}=\sqrt{250} \]

Ответ r=\sqrt{250}

Если z является действительным числом, то его модуль r=|z| равен абсолютной величине этого действительного числа.

Например. z=-17, \text{ }r=|-17|=17

Свойства модуля

  1. Модуль комплексного числа не отрицателен: |z| \geq 0, при этом |z|=0 в том и только том случае, если z=0;
  2. Модуль суммы двух комплексных чисел меньше либо равен сумме модулей: |z_{1}+z_{2}| \leq |z_{1}|+|z_{2}|;
  3. Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей: |z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|, в том числе |q \cdot z_{2}| = q \cdot |z_{2}|, \text{ }q \in R;
  4. Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей: |z_{1} \div z_{2}| = |z_{1}| \div |z_{2}|;
  5. |z_{1}-z_{2}| = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}, т.е. модуль разности комплексных чисел равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти частное модулей комплексных чисел z_{1}=15i, \text{ }z_{2}=1+i .
Решение Модуль комплексного числа z_{1}=15i равен r_{1}=\sqrt{0^{2}+15^{2}}=15, модуль комплексного числа z_{2}=1+i равен r_{2}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} .

Следовательно, частное модулей равно:

    \[    r_{1} \div r_{2} = \frac{15}{\sqrt{2}} = 7,5 \sqrt{2} \approx 10,6066 \]

Ответ r_{1} \div r_{2}= 7,5 \sqrt{2} \approx 10,6066
ПРИМЕР 2
Задание Найти расстояние между числами z_{1}=1-3i,\text{ }z_{2}=-2+2i на комплексной плоскости.
Решение Расстояние между двумя комплексными числами находится как модуль разности комплексных чисел. Применяя соответствующую формулу, получаем:

    \[    |z_{1}-z_{2}| = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}} = \sqrt{(1-(-2))^{2} + (-2-2)^{2}} = \sqrt{34} \]

Ответ Расстояние между комплексными числами z_{1}=1-3i,\text{ }z_{2}=-2+2i равно \sqrt{34} .