Показательная форма записи комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Показательной формой комплексного числа называется выражение $z=r e^{i \varphi}$ , где $r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ — модуль комплексного числа, $e^{i \varphi}$ — расширение экспоненты на случай, когда показатель степени является комплексным числом.

Пусть комплексное число $z$ записано в тригонометрической форме $z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$ , где $r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ — модуль комплексного числа. Используя формулу Эйлера, получаем

$z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = r e^{i \varphi}$

Формула Эйлера

Формула Эйлера связывает между собой тригонометрические и показательные функции:

$e^{i \varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$

где $e$ – экспонента, $i$ – мнимая единица.

Для комплексного числа $z=x+iy$ выполняется:

$e^{z} = e^{x+iy} = e^{x} \cdot e^{iy}$

В случае, когда $z$ – вещественное число $(\text{Im } z = 0)$ , верно

$e^{z} = e^{x+0i} = e^{x} \cdot e^{0} = e^{x}$

Если $z$ – чисто мнимое число $(\text{Re } z = 0)$ , верно

$e^{z} = e^{0+iy} = e^{0} \cdot e^{iy} = e^{iy}$

Используя формулу Эйлера, получаем:

$e^{z} = e^{x} \cdot e^{iy} = e^{x} \cdot (\cos y + i \sin y)$

Подробнее про формулу Эйлера читайте в отдельной статье: Формула Эйлера для комплексных чисел.

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание

Записать комплексное число $z=2i$ в показательной форме.

Решение

Действительной частью является число $x = \text{Re } z=0$ , мнимой частью является $y = \text{Im } z=2$ . Находим модуль и аргумент комплексного числа:

$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=2$

$\varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{2}{0} = \text{arctg } (\infty) = \frac{\pi}{2}$

Следовательно, показательная форма имеет вид:

$z=r e^{i \varphi} = 2 e^{\frac{\pi}{2} i}$

Ответ

$z= 2 e^{\frac{\pi}{2} i}$

ПРИМЕР

Задание

Записать комплексное число $z=4-3i$ в показательной форме.

Решение

Воспользуемся формулами описанными выше. Модуль комплексного числа равен

$r=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

Аргумент равен

$\varphi = \text{arctg } \frac{-3}{4} = -\text{arctg } \frac{3}{4}$

Следовательно, показательная форма имеет вид:

$z=r e^{i \varphi} = 5e^{-\text{arctg } \frac{3}{4} i}$

Ответ

$z=5e^{-\text{arctg } \frac{3}{4} i}$

ПРИМЕР

Задание	Для комплексного числа в показательной форме $z=2e^{\frac{\pi}{3}i}$ найти его алгебраическую форму.
Решение	Используя формулу Эйлера, получаем: $z=2e^{\frac{\pi}{3}i} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 + \sqrt{3} i$
Ответ	$z = 1 + \sqrt{3} i$

Действия над комплексными числами в показательной форме

Умножение

Для произведения комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

$z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot e^{i \varphi _{1}} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi _{2}} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi _{1} + i \varphi _{2}} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i ( \varphi _{1} + \varphi _{2})}$

ПРИМЕР

Задание	Найти произведение комплексных чисел $z_{1} = \sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2}i}$ и $z_{2} = \sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4}i}$ .
Решение	Воспользуемся написанной выше формулой. Произведение комплексных чисел равно: $z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i ( \varphi _{1} + \varphi _{2})} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot e^{i \left( -\frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{4}\right)} = 2e^{-\frac{\pi}{4}i}$
Ответ	$z_{1} \cdot z_{2} = 2e^{-\frac{\pi}{4}i}$

Подробнее про умножение комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел.

Деление

Частное комплексных чисел в показательной форме выполняется по формуле:

$z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1} \cdot e^{i \varphi _{1}}}{r_{2} \cdot e^{i \varphi _{2}}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i \varphi _{1} - i \varphi _{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i ( \varphi _{1} - \varphi _{2})}$

Подробнее про деление комплексных чисел читайте в отдельной статье: Деление комплексных чисел.

Возведение в степень

Для возведения в степень комплексных чисел в показательной форме верна формула:

$z^{k} = \left( r e^{i \varphi} \right)^{k} = r^{k} e^{i k \varphi}, \text{ } k \in Z$

Подробнее про возведение в степень читайте в отдельной статье: Возведение в степень комплексного числа.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Показательная форма записи комплексного числа

Формула Эйлера

Примеры решения задач

Действия над комплексными числами в показательной форме

Умножение

Деление

Возведение в степень