Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Показательная форма записи комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Показательной формой комплексного числа называется выражение z=r e^{i \varphi}, где r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} — модуль комплексного числа, e^{i \varphi} — расширение экспоненты на случай, когда показатель степени является комплексным числом.

Пусть комплексное число z записано в тригонометрической форме z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi), где r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} — модуль комплексного числа. Используя формулу Эйлера, получаем

    \[    z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = r e^{i \varphi} \]

Формула Эйлера

Формула Эйлера связывает между собой тригонометрические и показательные функции:

    \[    e^{i \varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi \]

где e – экспонента, i – мнимая единица.

Для комплексного числа z=x+iy выполняется:

    \[    e^{z} = e^{x+iy} = e^{x} \cdot e^{iy} \]

В случае, когда z – вещественное число (\text{Im } z = 0), верно

    \[    e^{z} = e^{x+0i} = e^{x} \cdot e^{0} = e^{x} \]

Если z – чисто мнимое число (\text{Re } z = 0), верно

    \[    e^{z} = e^{0+iy} = e^{0} \cdot e^{iy} = e^{iy} \]

Используя формулу Эйлера, получаем:

    \[    e^{z} = e^{x} \cdot e^{iy} = e^{x} \cdot (\cos y + i \sin y) \]

Подробнее про формулу Эйлера читайте в отдельной статье: Формула Эйлера для комплексных чисел.

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Записать комплексное число z=2i в показательной форме.
Решение Действительной частью является число x = \text{Re } z=0, мнимой частью является y = \text{Im } z=2. Находим модуль и аргумент комплексного числа:

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=2 \]

    \[    \varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{2}{0} = \text{arctg } (\infty) = \frac{\pi}{2} \]

Следовательно, показательная форма имеет вид:

    \[    z=r e^{i \varphi} = 2 e^{\frac{\pi}{2} i} \]

Ответ z= 2 e^{\frac{\pi}{2} i}
ПРИМЕР
Задание Записать комплексное число z=4-3i в показательной форме.
Решение Воспользуемся формулами описанными выше. Модуль комплексного числа равен

    \[    r=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \]

Аргумент равен

    \[    \varphi = \text{arctg } \frac{-3}{4} = -\text{arctg } \frac{3}{4} \]

Следовательно, показательная форма имеет вид:

    \[    z=r e^{i \varphi} = 5e^{-\text{arctg } \frac{3}{4} i} \]

Ответ z=5e^{-\text{arctg } \frac{3}{4} i}
ПРИМЕР
Задание Для комплексного числа в показательной форме z=2e^{\frac{\pi}{3}i} найти его алгебраическую форму.
Решение Используя формулу Эйлера, получаем:

    \[    z=2e^{\frac{\pi}{3}i} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 + \sqrt{3} i \]

Ответ z = 1 + \sqrt{3} i

Действия над комплексными числами в показательной форме

Умножение

Для произведения комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot e^{i \varphi _{1}} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi _{2}} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi _{1} + i \varphi _{2}} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i ( \varphi _{1} + \varphi _{2})} \]

ПРИМЕР
Задание Найти произведение комплексных чисел z_{1} = \sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2}i} и z_{2} = \sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4}i} .
Решение Воспользуемся написанной выше формулой. Произведение комплексных чисел равно:

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i ( \varphi _{1} + \varphi _{2})} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot e^{i \left( -\frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{4}\right)} = 2e^{-\frac{\pi}{4}i} \]

Ответ z_{1} \cdot z_{2} = 2e^{-\frac{\pi}{4}i}

Подробнее про умножение комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел.

Деление

Частное комплексных чисел в показательной форме выполняется по формуле:

    \[    z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1} \cdot e^{i \varphi _{1}}}{r_{2} \cdot e^{i \varphi _{2}}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i \varphi _{1} - i \varphi _{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i ( \varphi _{1} - \varphi _{2})} \]

Подробнее про деление комплексных чисел читайте в отдельной статье: Деление комплексных чисел.

Возведение в степень

Для возведения в степень комплексных чисел в показательной форме верна формула:

    \[    z^{k} = \left( r e^{i \varphi} \right)^{k} = r^{k} e^{i k \varphi}, \text{ } k \in Z \]

Подробнее про возведение в степень читайте в отдельной статье: Возведение в степень комплексного числа.