Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Алгебраическая форма записи комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Алгебраической формой комплексного числа называется запись комплексного числа z в виде z=x+iy, где x и y – действительные числа, i – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению i^{2}=-1 .

Число x называется действительной частью комплексного числа z и имеет обозначение x = \text{Re } z.

Число y называется мнимой частью комплексного числа z и имеет обозначение y = \text{Im } z .

Например:

  1. Комплексное число z=3-2i и его сопряженное число \overline{z}=3+2i записаны в алгебраической форме.
  2. Мнимое число z=5i записано в алгебраической форме.

Также, в зависимости от решаемой задачи, вы можете перевести комплексное число в тригонометрическую или показательную форму.

ПРИМЕР
Задание Записать число z = \frac{7-i}{4}+13 в алгебраической форме, найти его действительную и мнимую части, а также сопряженное число.
Решение Применяя почленное деление дроби и правило сложения дробей, получаем:

    \[    z = \frac{7-i}{4}+13 = \frac{7}{4}+13-\frac{i}{4}=\frac{59}{4}-\frac{1}{4}i \]

Следовательно, действительной частью комплексного числа z = \frac{59}{4}-\frac{1}{4}i является число x = \text{Re } z=\frac{59}{4}, мнимой частью является число y = \text{Im } z=-\frac{1}{4}.

Сопряженное число имеет вид: \overline{z} =\frac{59}{4}+\frac{1}{4}i.

Ответ

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сравнение

Два комплексных числа z_{1}=x_{1}+iy_{1} и z_{2}=x_{2}+iy_{2} называются равными, если x_{1}=x_{2},\text{ } y_{1}=y_{2}, т.е. равны их действительные и мнимые части.

ПРИМЕР
Задание Определить, при каких x и y два комплексных числа z_{1}=13+yi и z_{2}=x+5i являются равными.
Решение По определению два комплексных числа являются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. x=13, \text{ }y=5 .
Ответ x=13, \text{ }y=5

Сложение

Сложение комплексных чисел z_{1}=x_{1}+iy_{1} и z_{2}=x_{2}+iy_{2} выполняется непосредственным суммированием действительных и мнимых частей:

    \[    z_{1}+z_{2} = x_{1}+iy_{1} + x_{2}+iy_{2} = (x_{1}+x_{2}) + i (y_{1}+y_{2}) \]

ПРИМЕР
Задание Найти сумму комплексных чисел z_{1}=-7+5i, \text{ }z_{2}=13-4i .
Решение Действительной частью комплексного числа z_{1}=-7+5i является число x_{1} = \text{Re } z_{1}=-7, мнимой частью является число y_{1} = \text{Im } z_{1}=5. Действительная и мнимая части комплексного числа z_{2}=13-4i равны x_{2} = \text{Re } z_{2}=13 и y_{2} = \text{Im } z_{2}=-4, соответственно.

Следовательно, сумма комплексных чисел равна:

    \[    z_{1}+z_{2} = (x_{1}+x_{2}) + i (y_{1}+y_{2}) = (-7+13)+i(5-4)=6+i \]

Ответ z_{1}+z_{2} = 6+i

Подробнее про сложение комплексных числе читайте в отдельной статье: Сложение комплексных чисел.

Вычитание

Вычитание комплексных чисел z_{1}=x_{1}+iy_{1} и z_{2}=x_{2}+iy_{2} выполняется непосредственным вычитанием действительных и мнимых частей:

    \[    z_{1}-z_{2} = x_{1}+iy_{1} - (x_{2}+iy_{2}) = x_{1}-x_{2} + (i y_{1}-iy_{2}) = (x_{1}-x_{2}) + i (y_{1}-y_{2}) \]

ПРИМЕР
Задание Найти разность комплексных чисел z_{1}=17-35i, \text{ }z_{2}=15+5i.
Решение Найдем действительные и мнимые части комплексных чисел z_{1}=17-35i, \text{ }z_{2}=15+5i :

    \[    x_{1} = \text{Re } z_{1}=17 \text{ },\text{ } x_{2} = \text{Re } z_{2}=15 \]

    \[    y_{1} = \text{Im } z_{1}=-35 \text{ },\text{ } y_{2} = \text{Im } z_{2}=5 \]

Следовательно, разность комплексных чисел равна:

    \[    z_{1}-z_{2} = (x_{1}-x_{2}) + i (y_{1}-y_{2}) = (17-15)+i(-35-5)=2-40i \]

Ответ z_{1}-z_{2} = 2-40i

Умножение

Умножение комплексных чисел z_{1}=x_{1}+iy_{1} и z_{2}=x_{2}+iy_{2} выполняется непосредственным произведением чисел в алгебраической форме, учитывая свойство мнимой единицы i^{2}=-1 :

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1}+iy_{1}) \cdot (x_{2}+iy_{2}) = x_{1} \cdot x_{2} + i^{2} \cdot y_{1} \cdot y_{2} + (x_{1} \cdot iy_{2} + x_{2} \cdot iy_{1}) =  \]

    \[    = (x_{1} \cdot x_{2} - y_{1} \cdot y_{2}) + i (x_{1} \cdot y_{2} + x_{2} \cdot y_{1}) \]

ПРИМЕР
Задание Найти произведение комплексных чисел z_{1}=1-5i, \text{ }z_{2}=5+2i .
Решение Произведение комплексных чисел равно:

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} \cdot x_{2} - y_{1} \cdot y_{2}) + i (x_{1} \cdot y_{2} + x_{2} \cdot y_{1}) = (1 \cdot 5 - (-5) \cdot 2 ) + i (1 \cdot 2 + (-5) \cdot 5) = 15-23i \]

Ответ z_{1} \cdot z_{2} = 15-23i

Подробнее про умножение комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел.

Деление

Частное комплексных чисел z_{1}=x_{1}+iy_{1} и z_{2}=x_{2}+iy_{2} находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю:

    \[    \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}} = \frac{(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}=\frac{x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} + i \frac{x_{2} \cdot y_{1} - x_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}  \]

ПРИМЕР
Задание Разделить число 1 на комплексное число z=1+2i .
Решение Поскольку мнимая часть вещественного числа 1 равна нулю, частное чисел равно:

    \[    \frac{1}{1+2i} = \frac{1 \cdot 1}{1^{2}+2^{2}} - i \frac{1 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}} = \frac{1}{5}-i \frac{2}{5} \]

Ответ

Подробнее про деление комплексных чисел читайте в отдельной статье: Деление комплексных чисел.