Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формы записи комплексных чисел

Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, тригонометрическая и показательная. Каждая форма записи удобна для решения своих задач, соответственно вы можете переводить комплексное число из одной формы в другую, в зависимости от решаемой задачи.

Алгебраическая форма комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Алгебраической формой комплексного числа называется запись комплексного числа z в виде z=x+iy, где x и y – действительные числа, i – мнимая единица.

Например:

  1. Комплексное число z=83-412i и его сопряженное число \overline{z}=83+412i записаны в алгебраической форме.
  2. Мнимое число z=35i записано в алгебраической форме.

Подробнее про алгебраическую форму читайте в отдельной статье: Алгебраическая форма комплексного числа.

Тригонометрическая форма комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тригонометрической формой комплексного числа z=x+iy, не равного нулю, называется запись z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) где r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} — модуль комплексного числа z.

Ниже мы подробно распишем, как вычислять модуль и аргумент комплексного числа и приведем примеры.

ПРИМЕР
Задание Выразить число z=-1+i в тригонометрической форме.
Решение Действительной частью комплексного числа z=-1+i является число x = \text{Re } z=-1, мнимой частью является y = \text{Im } z=1. Для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа нужно найти его модуль и аргумент.

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \]

Аргумент вычисляется по формуле:

    \[    \varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{1}{-1} = \text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4} \]

Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:

    \[    z = \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) \]

Ответ

Подробнее про тригонометрическую форму читайте в отдельной статье: Тригонометрическая форма комплексного числа.

Модуль и аргумент комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Модулем комплексного числа z=x+iy называется выражение r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} .
ПРИМЕР
Задание Найти модуль числа z=-73+5i .
Решение Действительной частью комплексного числа z=-73+5i является число x = \text{Re } z=-73, мнимой частью является y = \text{Im } z=5. Следовательно, модуль числа – это выражение

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-73)^{2}+5^{2}}=73,17103 \]

Ответ r=73,17103

Если z является действительным числом, то его модуль r=|z| равен абсолютной величине этого действительного числа.

Например. z=-57, \text{ }r=|-57|=57

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Угол \varphi (измеряемый в радианах) радиус-вектора точки, которая соответствует комплексному числу z на комплексной плоскости, называется аргументом числа z: \varphi = \arg z . В таком случае вещественные числа x, y комплексного числа z=x+iy можно выразить через модуль r и аргумент \varphi: x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi.

Показательная форма комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Показательной формой комплексного числа называется выражение z=r e^{i \varphi}, где r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} — модуль комплексного числа, e^{i \varphi} — расширение экспоненты на случай, когда показатель степени является комплексным числом.
ПРИМЕР
Задание Записать комплексное число z=-2i в показательной форме.
Решение Действительной частью комплексного числа z=-2i является число x = \text{Re } z=0, мнимой частью является y = \text{Im } z=-2. Находим модуль и аргумент комплексного числа:

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=2 \]

    \[    \varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{-2}{0} = \text{arctg } (-\infty) = -\frac{\pi}{2} \]

Следовательно, показательная форма имеет вид:

    \[    z=r e^{i \varphi} = 2 e^{-\frac{\pi}{2} i} \]

Ответ z= 2 e^{-\frac{\pi}{2} i}

Подробнее про показательную форму читайте в отдельной статье: Показательная форма комплексного числа.