Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения комплексных чисел

Теория про комплексные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Комплексным числом называется число вида z=x+iy, где x и y действительные числа, а i – мнимая единица такая, что i^{2}=-1 .

При этом такая запись комплексного числа называется алгебраической; x = \text{Re }(z) является действительной частью комплексного числа, а y = \text{Im }(z) – мнимою. Каждое комплексное число может быть так же представлено в тригонометрической форме

    \[    z = r( \cos \varphi + i \sin \varphi) \]

или показательной форме:

    \[    z = r e^{i \varphi} \]

где r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} – модуль комплексного числа, а \varphi = \arg z – аргумент комплексного числа такой, что \text{tg }\varphi = \frac{y}{x}, где - \pi \leq \varphi \leq \pi или 0 \leq \varphi \leq 2\pi .

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости. Для них введены операции сложения, умножения, вычитания и деления. Так же их можно возводить в степень и извлекать из них корень, для этого используют формулу Муавра.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Представить в показательной и тригонометрической формах комплексное число  z = 2-2i .
Решение Найдем модуль заданного комплексного числа, по условию действительная часть x=2, а мнимая y=-2, тогда подставляя в формулу для нахождения модуля, получим

    \[    r =\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{2^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \]

Вычислим аргумент заданного комплексного числа:

    \[    \text{tg } \varphi = \frac{-2}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{tg } \varphi = -1 \text{ } \Rightarrow \text{ } \varphi = \text{arctg } (-1) \text{ } \Rightarrow \text{ } \varphi = - \frac{\pi}{4} \]

Тогда тригонометрическая форма этого комплексного числа будет иметь вид:

    \[    z = 2 \sqrt{2} \left( \cos \left( - \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( - \frac{\pi}{4} \right) \right) \]

показательная:

    \[    z = 2 \sqrt{2} \cdot e^{- \frac{\pi}{4} i} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти разность и сумму комплексных чисел z_{1}=1+i и z_{2}=2-3i .
Решение Найдем сумму комплексных чисел, при этом отдельно складываем действительные и мнимые части заданных чисел:

    \[    z_{1}+z_{1} = (1+i)+(2-3i) = (1+2)+(i-3i)=3-2i \]

Вычислим разность заданных комплексных чисел, при этом действительные и мнимые части чисел вычитаются отдельно:

    \[    z_{1}-z_{1} = (1+i)-(2-3i) = (1-2)+(i+3i)=-1+4i \]

Ответ z_{1}+z_{1} =3-2i \text{ };\text{ } z_{1}-z_{1} =-1+4i
ПРИМЕР 3
Задание Найти произведение и частное чисел z_{1}=4+5i и z_{2}=1-i .
Решение Найдем произведение заданных комплексных чисел:

    \[    z_{1} \cdot z_{1} = (4+5i) \cdot (1-i) = 4 \cdot 1 + 5i \cdot 1 + 4 \cdot (-i) + 5i \cdot (-i)=4+5i-4i-5i^{2} \]

Учитывая, что i^{2}=-1 , окончательно получим:

    \[    z_{1} \cdot z_{1} =4+5i-4i-5i^{2} = 4+i-5 \cdot (-1)=4+i+5=9+i \]

Вычислим частное комплексных чисел z_{1} и z_{2} :

    \[    \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{4+5i}{1-i} \]

умножим числитель и знаменатель полученной дроби на сопряженное комплексное число к знаменателю, то есть на \overline{z_{2}}=1+i , получим:

    \[    \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(4+5i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{4+5i+4i+5i^{2}}{1^{2}-i^{2}} \]

Учитывая, что i^{2}=-1 , окончательно получим:

    \[    \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{4+5i+4i+5i^{2}}{1^{2}-i^{2}} = \frac{4+9i-5}{1-(-1)}=\frac{-1+9i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{2}i \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Возвести комплексное число z=\sqrt{3}+i в степень n : а) n=2 ; б) n=6 .
Решение а) Возведем заданное комплексное число в квадрат, используя формулы сокращенного умножения:

    \[    z^{2} = (\sqrt{3}+i)^{2} = (\sqrt{3})^{2} + 2\sqrt{3}i+i^{2}=3+2\sqrt{3}i-1=2+2\sqrt{3}i \]

б) Для возведения комплексного числа z=\sqrt{3}+i в шестую степень, воспользуемся формулой Муавра. Чтобы её применить, необходимо представить комплексное число в тригонометрической или показательной формах. Найдем модуль заданного комплексного числа:

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 1^{2}}=\sqrt{4}=2 \]

Далее находим его аргумент:

    \[    \text{tg } \varphi = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ } \Rightarrow \text{ } \varphi = \text{arctg } \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \text{ } \Rightarrow \text{ } \varphi = \frac{\pi}{6} \]

Запишем тригонометрическую форму заданного комплексного числа:

    \[    z=2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \]

По формуле Муавра

    \[    z^{6}=2^{6} \left( \cos \frac{6 \cdot \pi}{6} + i \sin \frac{6 \cdot \pi}{6} \right) = 64 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) \]

Преобразовывая это выражение, получим алгебраическую форму шестой степени заданного комплексного числа z=\sqrt{3}+i :

    \[    z^{6}= 64 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = 64 (-1+i \cdot 0) = -64 \]

Ответ z^{2} = 2+2\sqrt{3}i \text{ };\text{ } z^{6}= -64
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить \sqrt[4]{-1} и изобразить корни на комплексной плоскости.
Решение Представим число -1 в тригонометрической форме, для этого найдем его модуль и аргумент:

    \[    r=|-1|=1 \]

    \[    \text{tg } \varphi = \frac{0}{-1} \text{ } \Rightarrow \text{ } \varphi = \text{arctg } 0+\pi \text{ } \Rightarrow \text{ } \varphi = 0 \]

Тогда

    \[    z=1 \cdot \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) \]

Корни четвертой степени найдем, используя формулу Муавра

    \[    \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2 \pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2 \pi k}{n}\right) \text{ }, \text{ } k = \overline{0, n-1} \]

В нашем случае k=0,1,2,3 . Найдем значения этого выражения для каждого k :

    \[    z_{0} = \sqrt[4]{1} \left( \cos \frac{\pi + 2 \pi \cdot 0}{4} + i \sin \frac{\pi + 2 \pi \cdot 0}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \]

    \[    z_{1} = \sqrt[4]{1} \left( \cos \frac{\pi + 2 \pi \cdot 1}{4} + i \sin \frac{\pi + 2 \pi \cdot 1}{4}\right) = \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \]

    \[    z_{2} = \sqrt[4]{1} \left( \cos \frac{\pi + 2 \pi \cdot 2}{4} + i \sin \frac{\pi + 2 \pi \cdot 2}{4}\right) = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \]

    \[    z_{3} = \sqrt[4]{1} \left( \cos \frac{\pi + 2 \pi \cdot 3}{4} + i \sin \frac{\pi + 2 \pi \cdot 3}{4}\right) = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Полученные корни можно изобразить на комплексной плоскости. Они будут точками, лежащими на окружности с центром в начале координат и радиусом \sqrt[4]{r}=1 , а центральные углы между радиусами, проведенными в соседние точки, равны \frac{\pi}{2} (рис. 1).

Ответ