Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Деление комплексных чисел

Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, тригонометрическая и показательная. Рассмотрим деление комплексных чисел в каждой из форм.

Деление в алгебраической форме

Частное комплексных чисел z_{1}=x_{1}+iy_{1} и z_{2}=x_{2}+iy_{2} находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю:

    \[    \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}} = \frac{(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}=\frac{x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} + i \frac{x_{2} \cdot y_{1} - x_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}  \]

ПРИМЕР
Задание Разделить число z_{1}=-1+3i на число z_{2}=1+2i .
Решение Используя формулу для нахождения частного, получаем:

    \[    z_{1} \div z_{2} = \frac{-1+3i}{1+2i} = \frac{(-1+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{-1 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}} + i \frac{3 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2)}{1^{2}+2^{2}} = \]

    \[    = \frac{5}{5} + i \frac{5}{5}=1+i \]

Ответ z_{1} \div z_{2} = 1+i

Деление в тригонометрической форме

Частное комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:

    \[    z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos ( \varphi _{1} - \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} - \varphi _{2})) \]

Таким образом, чтобы поделить два комплексных числа, нужно поделить их модули и найти разность аргументов.

ПРИМЕР
Задание Найти частное комплексных чисел z_{1}=\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) и z_{2}=\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) .
Решение Частное комплексных чисел равно:

    \[    z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos ( \varphi _{1} - \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} - \varphi _{2})) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \left( \cos \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \right) \right) =  \]

    \[    = 1 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \]

Ответ

Деление в показательной форме

Частное комплексных чисел в показательной форме выполняется по формуле:

    \[    z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1} \cdot e^{i \varphi _{1}}}{r_{2} \cdot e^{i \varphi _{2}}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i \varphi _{1} - i \varphi _{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i ( \varphi _{1} - \varphi _{2})} \]

Т.е. чтобы поделить два комплексных числа в показательной форме, нужно найти частное их модулей, а в показателе степени экспоненты найти разность их аргументов.

ПРИМЕР
Задание Найти частное комплексных чисел z_{1} = \sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2}i} и z_{2} = 2 e^{-\frac{\pi}{4}i} .
Решение Частное комплексных чисел равно:

    \[    z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i ( \varphi _{1} - \varphi _{2})} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{i \left( -\frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{4} \right) } = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\frac{\pi}{4}i} \]

Ответ