Деление комплексных чисел

Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, тригонометрическая и показательная. Рассмотрим деление комплексных чисел в каждой из форм.

Деление в алгебраической форме

Частное комплексных чисел $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ и $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю:

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}} = \frac{(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}=\frac{x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} + i \frac{x_{2} \cdot y_{1} - x_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}$

ПРИМЕР

Задание

Разделить число $z_{1}=-1+3i$ на число $z_{2}=1+2i$ .

Решение

Используя формулу для нахождения частного, получаем:

$z_{1} \div z_{2} = \frac{-1+3i}{1+2i} = \frac{(-1+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{-1 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}} + i \frac{3 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2)}{1^{2}+2^{2}} =$

$= \frac{5}{5} + i \frac{5}{5}=1+i$

Ответ

$z_{1} \div z_{2} = 1+i$

Деление в тригонометрической форме

Частное комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:

$z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos ( \varphi _{1} - \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} - \varphi _{2}))$

Таким образом, чтобы поделить два комплексных числа, нужно поделить их модули и найти разность аргументов.

ПРИМЕР

Задание

Найти частное комплексных чисел $z_{1}=\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$ и $z_{2}=\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$ .

Решение

Частное комплексных чисел равно:

$z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos ( \varphi _{1} - \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} - \varphi _{2})) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \left( \cos \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \right) \right) =$

$= 1 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}$

Ответ

Деление в показательной форме

Частное комплексных чисел в показательной форме выполняется по формуле:

$z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1} \cdot e^{i \varphi _{1}}}{r_{2} \cdot e^{i \varphi _{2}}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i \varphi _{1} - i \varphi _{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i ( \varphi _{1} - \varphi _{2})}$

Т.е. чтобы поделить два комплексных числа в показательной форме, нужно найти частное их модулей, а в показателе степени экспоненты найти разность их аргументов.

ПРИМЕР

Задание	Найти частное комплексных чисел $z_{1} = \sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2}i}$ и $z_{2} = 2 e^{-\frac{\pi}{4}i}$ .
Решение	Частное комплексных чисел равно: $z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i ( \varphi _{1} - \varphi _{2})} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{i \left( -\frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{4} \right) } = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\frac{\pi}{4}i}$
Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Деление комплексных чисел

Деление в алгебраической форме

Деление в тригонометрической форме

Деление в показательной форме