Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Умножение комплексных чисел

Рассмотрим умножение комплексных чисел записанных в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

Умножение в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z_{1}=x_{1}+iy_{1} и z_{2}=x_{2}+iy_{2} выполняется непосредственным произведением чисел в алгебраической форме, учитывая свойство мнимой единицы i^{2}=-1 :

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1}+iy_{1}) \cdot (x_{2}+iy_{2}) = x_{1} \cdot x_{2} + i^{2} \cdot y_{1} \cdot y_{2} + (x_{1} \cdot iy_{2} + x_{2} \cdot iy_{1}) =  \]

    \[    = (x_{1} \cdot x_{2} - y_{1} \cdot y_{2}) + i (x_{1} \cdot y_{2} + x_{2} \cdot y_{1}) \]

ПРИМЕР
Задание Найти произведение комплексных чисел z_{1}=1+3i, \text{ }z_{2}=5-2i .
Решение Воспользуемся формулой описанной выше. Произведение комплексных чисел равно:

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} \cdot x_{2} - y_{1} \cdot y_{2}) + i (x_{1} \cdot y_{2} + x_{2} \cdot y_{1}) = (1 \cdot 5 - 3 \cdot (-2)) + i (3 \cdot 5 + 1 \cdot (-2)) = 11+13i \]

Ответ z_{1} \cdot z_{2} = 11+13i

Умножение в тригонометрической форме

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме верно равенство:

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} (\cos ( \varphi _{1} + \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} + \varphi _{2})) \]

ПРИМЕР
Задание Найти произведение комплексных чисел z_{1} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{2}  + i \sin \frac{\pi}{2} \right) и z_{2} = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4}  + i \sin \frac{\pi}{4} \right) .
Решение Произведение комплексных чисел равно:

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} (\cos ( \varphi _{1} + \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} + \varphi _{2})) = 2 \cdot \sqrt{2}  \left( \cos \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right) =  \]

    \[    = 2 \sqrt{2} \left( \cos \frac{3 \pi}{4}  + i \sin \frac{3 \pi}{4} \right) = 2 \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -2+2i \]

Ответ z_{1} \cdot z_{2} = 2+2i

Умножение в показательной форме

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме верно равенство:

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot e^{i \varphi _{1}} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi _{2}} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi _{1} + i \varphi _{2}} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i ( \varphi _{1} + \varphi _{2})} \]

ПРИМЕР
Задание Найти произведение комплексных чисел z_{1} = 3 e^{-\frac{\pi}{2}i} и z_{2} = 2 e^{\frac{\pi}{3}i} .
Решение Произведение комплексных чисел равно:

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i ( \varphi _{1} + \varphi _{2})} = 3 \cdot 2 \cdot e^{i \left( -\frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{3}\right)} = 6e^{-\frac{\pi}{6}i} \]

Ответ z_{1} \cdot z_{2} = 6e^{-\frac{\pi}{6}i}