Умножение комплексных чисел

Рассмотрим умножение комплексных чисел записанных в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

Умножение в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ и $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ выполняется непосредственным произведением чисел в алгебраической форме, учитывая свойство мнимой единицы $i^{2}=-1$ :

$z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1}+iy_{1}) \cdot (x_{2}+iy_{2}) = x_{1} \cdot x_{2} + i^{2} \cdot y_{1} \cdot y_{2} + (x_{1} \cdot iy_{2} + x_{2} \cdot iy_{1}) =$

$= (x_{1} \cdot x_{2} - y_{1} \cdot y_{2}) + i (x_{1} \cdot y_{2} + x_{2} \cdot y_{1})$

ПРИМЕР

Задание	Найти произведение комплексных чисел $z_{1}=1+3i, \text{ }z_{2}=5-2i$ .
Решение	Воспользуемся формулой описанной выше. Произведение комплексных чисел равно: $z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} \cdot x_{2} - y_{1} \cdot y_{2}) + i (x_{1} \cdot y_{2} + x_{2} \cdot y_{1}) = (1 \cdot 5 - 3 \cdot (-2)) + i (3 \cdot 5 + 1 \cdot (-2)) = 11+13i$
Ответ	$z_{1} \cdot z_{2} = 11+13i$

Умножение в тригонометрической форме

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме верно равенство:

$z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} (\cos ( \varphi _{1} + \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} + \varphi _{2}))$

ПРИМЕР

Задание

Найти произведение комплексных чисел $z_{1} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$ и $z_{2} = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$ .

Решение

Произведение комплексных чисел равно:

$z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} (\cos ( \varphi _{1} + \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} + \varphi _{2})) = 2 \cdot \sqrt{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right) =$

$= 2 \sqrt{2} \left( \cos \frac{3 \pi}{4} + i \sin \frac{3 \pi}{4} \right) = 2 \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -2+2i$

Ответ

$z_{1} \cdot z_{2} = 2+2i$

Умножение в показательной форме

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме верно равенство:

$z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot e^{i \varphi _{1}} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi _{2}} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi _{1} + i \varphi _{2}} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i ( \varphi _{1} + \varphi _{2})}$

ПРИМЕР

Задание	Найти произведение комплексных чисел $z_{1} = 3 e^{-\frac{\pi}{2}i}$ и $z_{2} = 2 e^{\frac{\pi}{3}i}$ .
Решение	Произведение комплексных чисел равно: $z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i ( \varphi _{1} + \varphi _{2})} = 3 \cdot 2 \cdot e^{i \left( -\frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{3}\right)} = 6e^{-\frac{\pi}{6}i}$
Ответ	$z_{1} \cdot z_{2} = 6e^{-\frac{\pi}{6}i}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Умножение комплексных чисел

Умножение в алгебраической форме

Умножение в тригонометрической форме

Умножение в показательной форме