Комплексно сопряженные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Сопряженным (или комплексно сопряженным) числом к комплепрксному числу $z=x+iy$ называется число $\overline{z}=x-iy$ .

ПРИМЕР

Задание	Найти для комплексного числа $z=-34-i$ его сопряженное число.
Решение	Комплексно сопряженным числом является число вида $\overline{z}=x-iy$ . Действительной частью комплексного числа $z=-34-i$ является число $x=\text{Re }z=-34$ , мнимой частью является $y=\text{Im }z=-1$ . Следовательно, сопряженное число имеет вид: $\overline{z}=-34+i$
Ответ	$\overline{z}=-34+i$

На комплексной плоскости сопряженные числа зеркально отображены относительно оси вещественных чисел.

Свойства комплексно сопряженных чисел

$|\overline{z}|=|z|$ , то есть модули сопряженных чисел равны.
Например. Модуль комплексного числа $z=-4+i$ равен $r=\sqrt{(-4)^{2}+1^{2}}=\sqrt{17}$ . Сопряженным к комплексному числу будет число $z=-4-i$ , модуль которого $r=\sqrt{(-4)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{17}$ равен модулю исходного числа.
$\arg z = - \arg \overline{z}$ , то есть аргументы сопряженных чисел различаются знаком.
$\overline{\overline{z}} = z$ , то есть комплексно сопряженное к сопряженному числу есть исходное комплексное число.
$z \cdot \overline{z} = |z|^{2}$ , то есть в результате произведения сопряженных чисел получается вещественное число.
$z + \overline{z} = 2\text{Re } z$ , то есть сумма сопряженных чисел – это тоже вещественное число.
$\overline{z_{1} \cdot z_{2}} = \overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}}$ , то есть сопряженное произведения двух комплексных чисел есть произведение их сопряженных чисел.
$\overline{z_{1} \div z_{2}} = \overline{z_{1}} \div \overline{z_{2}}$ , то есть сопряженное частного чисел есть частное сопряженных.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Умножить комплексное число $z=4-7i$ на его сопряженное.
Решение	Сопряженным к числу $z=4-7i$ является число $z=4+7i$ . Найдем произведение двух чисел: $z \cdot \overline{z} = (4-7i) \cdot (4+7i) = 4 \cdot 4 + (-7) \cdot 7 \cdot i^{2} + i (4 \cdot 7 - 7 \cdot 4) = 65$
Ответ	$z \cdot \overline{z} = 65$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти сопряженное число к частному двух комплексных чисел: $z_{1}=1-3i,\text{ } z_{2}=2+5i$ .

Решение

Частное комплексных чисел находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число:

$z_{1} \div z_{2} = \frac{1-3i}{2+5i} = \frac{(1-3i)(2-5i)}{(2+5i)(2-5i)} = \frac{1 \cdot 2 - 3 \cdot 5}{2^{2}+5^{2}} + i \frac{-5 \cdot 1 - 3 \cdot 2}{2^{2}+5^{2}} = -\frac{13}{29}- i \frac{11}{29}$

Сопряженным числом к частному будет являться число $-\frac{13}{29} + i \frac{11}{29}$ .

Этот же результат мы получим, если найдем частное сопряженных чисел $z_{1}=1-3i,\text{ } z_{2}=2+5i$ :

$\overline{z_{1}} \div \overline{z_{2}} = \frac{1+3i}{2-5i} = \frac{(1+3i)(2+5i)}{(2-5i)(2+5i)} = \frac{1 \cdot 2 - 3 \cdot 5}{2^{2}+5^{2}} + i \frac{5 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{2^{2}+5^{2}} = -\frac{13}{29}+ i \frac{11}{29}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Комплексно сопряженные числа

Свойства комплексно сопряженных чисел

Примеры решения задач