Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Комплексно сопряженные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сопряженным (или комплексно сопряженным) числом к комплепрксному числу z=x+iy называется число \overline{z}=x-iy .
ПРИМЕР
Задание Найти для комплексного числа z=-34-i его сопряженное число.
Решение Комплексно сопряженным числом является число вида \overline{z}=x-iy. Действительной частью комплексного числа z=-34-i является число x=\text{Re }z=-34, мнимой частью является y=\text{Im }z=-1 .

Следовательно, сопряженное число имеет вид: \overline{z}=-34+i

Ответ \overline{z}=-34+i

На комплексной плоскости сопряженные числа зеркально отображены относительно оси вещественных чисел.

Свойства комплексно сопряженных чисел

  1. |\overline{z}|=|z|, то есть модули сопряженных чисел равны.

    Например. Модуль комплексного числа z=-4+i равен r=\sqrt{(-4)^{2}+1^{2}}=\sqrt{17}. Сопряженным к комплексному числу будет число z=-4-i, модуль которого r=\sqrt{(-4)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{17} равен модулю исходного числа.

  2. \arg z = - \arg \overline{z}, то есть аргументы сопряженных чисел различаются знаком.
  3. \overline{\overline{z}} = z, то есть комплексно сопряженное к сопряженному числу есть исходное комплексное число.
  4. z \cdot \overline{z} = |z|^{2}, то есть в результате произведения сопряженных чисел получается вещественное число.
  5. z + \overline{z} = 2\text{Re } z, то есть сумма сопряженных чисел – это тоже вещественное число.
  6. \overline{z_{1} \cdot z_{2}} = \overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}}, то есть сопряженное произведения двух комплексных чисел есть произведение их сопряженных чисел.
  7. \overline{z_{1} \div z_{2}} = \overline{z_{1}} \div \overline{z_{2}}, то есть сопряженное частного чисел есть частное сопряженных.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Умножить комплексное число z=4-7i на его сопряженное.
Решение Сопряженным к числу z=4-7i является число z=4+7i . Найдем произведение двух чисел:

    \[    z \cdot \overline{z} = (4-7i) \cdot (4+7i) = 4 \cdot 4 + (-7) \cdot 7 \cdot i^{2} + i (4 \cdot 7 - 7 \cdot 4) = 65 \]

Ответ z \cdot \overline{z} = 65
ПРИМЕР 2
Задание Найти сопряженное число к частному двух комплексных чисел: z_{1}=1-3i,\text{ } z_{2}=2+5i .
Решение Частное комплексных чисел находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число:

    \[    z_{1} \div z_{2} = \frac{1-3i}{2+5i} = \frac{(1-3i)(2-5i)}{(2+5i)(2-5i)} = \frac{1 \cdot 2 - 3 \cdot 5}{2^{2}+5^{2}} + i \frac{-5 \cdot 1 - 3 \cdot 2}{2^{2}+5^{2}} = -\frac{13}{29}- i \frac{11}{29} \]

Сопряженным числом к частному будет являться число -\frac{13}{29} + i \frac{11}{29} .

Этот же результат мы получим, если найдем частное сопряженных чисел z_{1}=1-3i,\text{ } z_{2}=2+5i:

    \[    \overline{z_{1}} \div \overline{z_{2}} = \frac{1+3i}{2-5i} = \frac{(1+3i)(2+5i)}{(2-5i)(2+5i)} = \frac{1 \cdot 2 - 3 \cdot 5}{2^{2}+5^{2}} + i \frac{5 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{2^{2}+5^{2}} = -\frac{13}{29}+ i \frac{11}{29} \]

Ответ