Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Мнимая часть комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Комплексные числа – это числа вида z=x+iy, где x, y – действительные числа, i – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению i^{2}=-1.

Число x называется действительной частью комплексного числа z и имеет обозначение x = \text{Re } z.

Число y называется мнимой частью комплексного числа z и имеет обозначение y = \text{Im } z.

Например. z=5-14i — комплексное число, действительной частью которого является вещественное число x = \text{Re } z = 5, а мнимой частью – вещественное число y = \text{Im } z = -14 .

Если действительная часть комплексного числа равна нулю (x=\text{Re }z=0), комплексное число называется чисто мнимым.

Например. z=38i, где x=\text{Re }z=0, \text{ } y = \text{Im } z = 38 .

Комплексные числа являются расширением действительных (вещественных) чисел, у которых мнимая часть равна нулю.Любое действительное число x может быть записано в форме комплексного числа: x+0i,\text{ }x-0i .

Например. Комплексные числа 5+0i,\text{ }5-0i обозначают действительное число 5.

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Можно изображать комплексные числа на комплексной плоскости следующим образом: действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

Любому комплексному числу z=x+iy можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами: (a, b), и радиус-вектор r (существуют также обозначения |z|, \text{ }\rho) комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу.

Историческая справка

К понятию мнимого числа впервые пришли математики Кардано и Бомбелли. Последний описывал возможность использовать мнимые величины при решении кубического уравнения x^{3}=px+q . Само название «мнимых» корней закрепилось после работ Декарта. В XVIII веке Эйлер предложил использовать символ i для обозначения мнимых чисел. Можно еще отметить исследования Муавра и Котса, также относящиеся к XVIII столетию. Несмотря на активное развитие математической теории, длительное время ученые с сомнением относились к полученным в отношении мнимых чисел результатам. Лишь позднее, в XIX столетии, математик и астроном Гаусс развил и популяризировал теорию мнимых чисел.