Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Операции над комплексными числами

Рассмотрим операции над комплексными числами записанными в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

Сравнение

Два комплексных числа z_{1}=x_{1}+iy_{1} и z_{2}=x_{2}+iy_{2} называются равными, если x_{1}=x_{2},\text{ } y_{1}=y_{2}, т.е. равны их действительные и мнимые части.

ПРИМЕР
Задание Определить, при каких x и y два комплексных числа z_{1}=1+yi и z_{2}=x-7i являются равными.
Решение По определению два комплексных числа являются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. x=1, \text{ }y=-7 .
Ответ x=1, \text{ }y=-7

Два комплексных числа в тригонометрической форме z_{1} = r_{1} (\cos \varphi _{1} + i \sin \varphi _{1}) и z_{2} = r_{2} (\cos \varphi _{2} + i \sin \varphi _{2}) называются равными, если |z_{1}|=|z_{2}|, \text{ }\arg z_{1} = \arg z_{2} + 2 \pi n, \text{ }n \in Z. То есть, если равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное 2 \pi .

Аналогично для чисел в показательной форме z_{1} = r_{1} \cdot e^{i \varphi _{1}},\text{ }z_{2} = r_{2} \cdot e^{i \varphi _{2}} : два комплексных числа равны, если r_{1}=r_{2}, \text{ } \varphi _{1} = \varphi _{2} + 2 \pi n, \text{ }n \in Z.

Сложение

Сложение комплексных чисел осуществляется в алгебраической форме и определяется следующим образом: суммой чисел z_{1}=x_{1}+iy_{1} и z_{2}=x_{2}+iy_{2} является число

    \[    z_{1}+z_{2} = x_{1}+iy_{1} + x_{2}+iy_{2} = (x_{1}+x_{2}) + i (y_{1}+y_{2}) \]

Т.е. выполняется непосредственное суммирование действительных и мнимых частей.

ПРИМЕР
Задание Найти сумму комплексных чисел z_{1}=-1-3i,\text{ }z_{2}=3+2i .
Решение Действительной частью комплексного числа z_{1}=-1-3i является число x_{1} = \text{Re } z_{1}=-1, мнимой частью является число y_{1} = \text{Im } z_{1}=-3.

Действительная и мнимая части комплексного числа z_{2}=3+2i равны x_{2} = \text{Re } z_{2}=3 и y_{2} = \text{Im } z_{2}=2, соответственно.

Следовательно, сумма комплексных чисел равна:

    \[    z_{1}+z_{2} = (x_{1}+x_{2}) + i (y_{1}+y_{2}) = (-1+3) + i (-3+2)=2-i \]

Ответ z_{1}+z_{2} =2-i

Подробнее про сложение комплексных числе читайте в отдельной статье: Сложение комплексных чисел.

Вычитание

Вычитание комплексных чисел также осуществляется в алгебраической форме. Разность двух чисел z_{1}=x_{1}+iy_{1} и z_{2}=x_{2}+iy_{2} является число

    \[    z_{1}-z_{2} = x_{1}+iy_{1} - (x_{2}+iy_{2}) = x_{1}-x_{2} + (i y_{1}-iy_{2}) = (x_{1}-x_{2}) + i (y_{1}-y_{2}) \]

Таким образом, чтобы вычесть из одного числа другое, выполняется непосредственное вычитание действительных и мнимых частей.

ПРИМЕР
Задание Найти разность комплексных чисел z_{1}=17-35i,\text{ }z_{2}=15+5i .
Решение Найдем действительные и мнимые части комплексных чисел z_{1}=17-35i и z_{2}=15+5i :

    \[    x_{1} = \text{Re } z_{1}=17, \text{ }y_{1} = \text{Im } z_{1}=-35 \]

    \[    x_{2} = \text{Re } z_{2}=15, \text{ }y_{2} = \text{Im } z_{2}=5 \]

Следовательно, разность комплексных чисел равна:

    \[    z_{1}-z_{2} = (x_{1}-x_{2}) + i (y_{1}-y_{2}) = (17-15) + i (-35-5)=2-40i \]

Ответ z_{1}-z_{2}=2-40i

Умножение

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме z_{1}=x_{1}+iy_{1} и z_{2}=x_{2}+iy_{2} выполняется непосредственным произведением чисел в алгебраической форме, учитывая свойство мнимой единицы i^{2}=-1 :

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1}+iy_{1}) \cdot (x_{2}+iy_{2}) = x_{1} \cdot x_{2} + i^{2} \cdot y_{1} \cdot y_{2} + (x_{1} \cdot iy_{2} + x_{2} \cdot iy_{1}) =  \]

    \[    = (x_{1} \cdot x_{2} - y_{1} \cdot y_{2}) + i (x_{1} \cdot y_{2} + x_{2} \cdot y_{1}) \]

ПРИМЕР
Задание Найти произведение комплексных чисел z_{1}=1-5i,\text{ }z_{2}=5+2i .
Решение Произведение комплексных чисел равно:

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} \cdot x_{2} - y_{1} \cdot y_{2}) + i (x_{1} \cdot y_{2} + x_{2} \cdot y_{1}) = (1 \cdot 5 - (-5) \cdot 2) + i (1 \cdot 2 + (-5) \cdot 5)=15-23i \]

Ответ z_{1} \cdot z_{2} =15-23i

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме верно равенство:

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} (\cos ( \varphi _{1} + \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} + \varphi _{2})) \]

Для произведения комплексных чисел в показательной форме выполняется следующее равенство:

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot e^{i \varphi _{1}} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi _{2}} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi _{1} + i \varphi _{2}} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i ( \varphi _{1} + \varphi _{2})} \]

ПРИМЕР
Задание Найти произведение комплексных чисел z_{1} = \sqrt{2} e^{\frac{\pi}{2}i} и z_{1} = \sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{4}i} .
Решение Произведение комплексных чисел равно:

    \[    z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i ( \varphi _{1} + \varphi _{2})} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot e^{i \left( \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{4}\right)} = 2e^{\frac{\pi}{4}i} \]

Ответ z_{1} \cdot z_{2} = 2e^{\frac{\pi}{4}i}

Подробнее про умножение комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел.

Деление

Частное комплексных чисел в алгебраической форме z_{1}=x_{1}+iy_{1} и z_{2}=x_{2}+iy_{2} находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное к знаменателю число:

    \[    \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}} = \frac{(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}=\frac{x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} + i \frac{x_{2} \cdot y_{1} - x_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}  \]

ПРИМЕР
Задание Разделить число 2 на комплексное число z=1+2i .
Решение Поскольку мнимая часть вещественного числа 1 равна нулю, частное чисел равно:

    \[    \frac{2}{1+2i} = \frac{2 \cdot 1}{1^{2}+2^{2}} - i \frac{2 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}} = \frac{2}{5}-i \frac{4}{5} \]

Ответ

Частное комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:

    \[    z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos ( \varphi _{1} - \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} - \varphi _{2})) \]

ПРИМЕР
Задание Найти частное комплексных чисел z_{1} = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) и z_{2} = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) .
Решение Частное комплексных чисел равно:

    \[    z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos ( \varphi _{1} - \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} - \varphi _{2})) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \left( \cos \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \right) \right) =  \]

    \[    = 1 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \]

Ответ

Частное комплексных чисел в показательной форме выполняется по формуле:

    \[    z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1} \cdot e^{i \varphi _{1}}}{r_{2} \cdot e^{i \varphi _{2}}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i \varphi _{1} - i \varphi _{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i ( \varphi _{1} - \varphi _{2})} \]

ПРИМЕР
Задание Найти частное комплексных чисел z_{1} = \sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2}i} и z_{2} = 4 e^{-\frac{\pi}{4}i} .
Решение Частное комплексных чисел равно:

    \[    z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i ( \varphi _{1} - \varphi _{2})} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot e^{i \left( -\frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{4} \right) } = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot e^{-\frac{\pi}{4}i} \]

Ответ

Подробнее про деление комплексных чисел читайте в отдельной статье: Деление комплексных чисел.

Возведение в степень

Для возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме верна формула Муавра:

    \[    z^{k} = r^{k} (\cos k \varphi + i \sin k \varphi),\text{ } \forall k \in N \]

В показательной форме комплексные числа возводятся в степень по следующей формуле:

    \[    z^{k} = \left( r e^{i \varphi} \right)^{k} = r^{k} e^{i k \varphi}, \text{ } k \in Z \]

ПРИМЕР
Задание Возвести в квадрат комплексное число z = \sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2}i} .
Решение Применяя формулу для возведения в степень, получаем:

    \[    z^{2} = \left( \sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2}i} \right)^{2} = \left( \sqrt{2} \right)^{2} e^{-2\frac{\pi}{2}i} = 2 e^{-\pi i} \]

Ответ z^{2} = 2 e^{-\pi i}

Подробнее про возведение в степень читайте в отдельной статье: Возведение в степень комплексного числа.

Извлечение корня из комплексного числа

Для извлечения корня из комплексного числа применяют аналогичным образом формулу Муавра (если число не равно нулю):

    \[    z^{\frac{1}{k}} = \left( r (\cos (\varphi + 2\pi n) + i \sin ( \varphi + 2\pi n) ) \right)^{\frac{1}{k}} =  \]

    \[    = r^{\frac{1}{k}}  \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi n}{k} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi n}{k} \right), \text{ } \forall k >1 , \text{ } \forall n \in N , \text{ } n < k \]

ПРИМЕР
Задание Найти корень 3-й степени из числа z=-1 .
Решение Для начала выразим число z=-1 в тригонометрической форме. Действительной частью числа z=-1 является число x = \text{Re } z=-1, мнимой частью является y = \text{Im } z=0. Для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа нужно найти его модуль и аргумент.

Модулем комплексного числа z является число:

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+0}=1 \]

Аргумент вычисляется по формуле:

    \[    \varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{0}{-1} = \text{arctg } 0 = \pi \]

Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: z = 1 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) .

Тогда корень 3-й степени находится следующим образом:

    \[    z^{\frac{1}{3}} = \left( 1 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) \right)^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) ^{\frac{1}{3}} =  \]

    \[    = \cos \frac{\pi + 2 \pi n}{3} + i \sin \frac{\pi + 2 \pi n}{3}, \text{ }n=0, 1, 2 \]

Для n=0 получаем:

    \[   \omega _{1} = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Для n=1 получаем:

    \[   \omega _{2} = \cos \pi + i \sin \pi= -1+i \cdot 0 = -1 \]

Для n=2 получаем:

    \[   \omega _{3} = \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{-\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Ответ

Подробнее про извлечение корня читайте в отдельной статье: Извлечение корня из комплексного числа.