Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексные числа можно изображать на комплексной плоскости следующим образом: действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

Любому комплексному числу $z=x+iy$ можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами: $(a, b)$ , и радиус-вектор $r$ (существуют также обозначения $|z|, \text{ }\rho$ ) комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу.

Модуль комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модулем комплексного числа $z=x+iy$ называется выражение $r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .

Т.е. нужно извлечь квадратный корень из суммы квадрат вещественной и мнимой частей.

ПРИМЕР

Задание

Найти модуль числа $z=-6-5i$ .

Решение

Действительной частью комплексного числа $z=-6-5i$ является число $x = \text{Re } z = -6$ , мнимой частью является $y = \text{Im } z=-5$ .

Следовательно, модуль числа – это выражение

$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{(-6)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}$

Ответ

$r = \sqrt{61}$

Если $z$ является действительным числом, то его модуль $r=|z|$ равен абсолютной величине этого действительного числа.

Например. $z=-107, \text{ }r=|-107|=107$

Свойства модуля

Модуль комплексного числа не отрицателен: $|z| \geq 0$ , при этом $|z|=0$ в том и только том случае, если $z=0$ ;
Модуль суммы двух комплексных чисел меньше либо равен сумме модулей: $|z_{1}+z_{2}| \leq |z_{1}|+|z_{2}|$ ;
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей: $|z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ , в том числе $|q \cdot z_{2}| = q \cdot |z_{2}|, \text{ }q \in R$ ;
Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей: $|z_{1} \div z_{2}| = |z_{1}| \div |z_{2}|$ ;
$|z_{1}-z_{2}| = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}$ , т.е. модуль разности комплексных чисел равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости.

ПРИМЕР

Задание	Найти произведение модулей комплексных чисел $z_{1}=1-i,\text{ }z_{2}=5-5i$ .
Решение	Модуль комплексного числа $z_{1}=1-i$ равен $r_{1}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$ , модуль комплексного числа $z_{2}=5-5i$ равен $r_{2}=\sqrt{5^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{50}$ . Следовательно, $r_{1} \cdot r_{2} = \sqrt{50} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{100} = 10$
Ответ	$r_{1} \cdot r_{2} = 10$

Аргумент комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Угол $\varphi$ (измеряемый в радианах) радиус-вектора точки, которая соответствует комплексному числу $z$ на комплексной плоскости, называется аргументом числа $z: \varphi = \arg z$ . В таком случае вещественные числа $x, y$ комплексного числа $z=x+iy$ можно выразить через модуль $r$ и аргумент $\varphi: x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi$ .

Свойства аргумента

$\text{tg } \varphi = \frac{y}{x}, \text{ }\text{ctg } \varphi = \frac{x}{y}, \text{ } \sin \varphi = \frac{y}{r}, \text{ } \cos \varphi = \frac{x}{r}$
Для комплексного числа $z \neq 0$ аргумент определяется с точностью до $2 \pi n, \text{ }n \in Z$ .
Для $z=0$ значение аргумента не определено.
Главным значением аргумента называется число $\varphi \in (-\pi; \text{ } \pi]$ . Для обратного числа выполняется свойство: $\arg \left( \frac{1}{z} \right) = - \arg z$ .