Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексные числа можно изображать на комплексной плоскости следующим образом: действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

Любому комплексному числу z=x+iy можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами: (a, b), и радиус-вектор r (существуют также обозначения |z|, \text{ }\rho) комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу.

Модуль комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Модулем комплексного числа z=x+iy называется выражение r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} .

Т.е. нужно извлечь квадратный корень из суммы квадрат вещественной и мнимой частей.

ПРИМЕР
Задание Найти модуль числа z=-6-5i .
Решение Действительной частью комплексного числа z=-6-5i является число  x = \text{Re } z = -6, мнимой частью является y = \text{Im } z=-5 .

Следовательно, модуль числа – это выражение

    \[    r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{(-6)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{36+25}=\sqrt{61} \]

Ответ r = \sqrt{61}

Если z является действительным числом, то его модуль r=|z| равен абсолютной величине этого действительного числа.

Например. z=-107, \text{ }r=|-107|=107

Свойства модуля

  1. Модуль комплексного числа не отрицателен: |z| \geq 0, при этом |z|=0 в том и только том случае, если z=0;
  2. Модуль суммы двух комплексных чисел меньше либо равен сумме модулей: |z_{1}+z_{2}| \leq |z_{1}|+|z_{2}|;
  3. Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей: |z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|, в том числе |q \cdot z_{2}| = q \cdot |z_{2}|, \text{ }q \in R;
  4. Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей: |z_{1} \div z_{2}| = |z_{1}| \div |z_{2}|;
  5. |z_{1}-z_{2}| = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}, т.е. модуль разности комплексных чисел равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости.
ПРИМЕР
Задание Найти произведение модулей комплексных чисел z_{1}=1-i,\text{ }z_{2}=5-5i .
Решение Модуль комплексного числа z_{1}=1-i равен r_{1}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}, модуль комплексного числа z_{2}=5-5i равен r_{2}=\sqrt{5^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{50}. Следовательно,

    \[    r_{1} \cdot r_{2} = \sqrt{50} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{100} = 10 \]

Ответ r_{1} \cdot r_{2} = 10

Аргумент комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Угол \varphi (измеряемый в радианах) радиус-вектора точки, которая соответствует комплексному числу z на комплексной плоскости, называется аргументом числа z: \varphi = \arg z . В таком случае вещественные числа x, y комплексного числа z=x+iy можно выразить через модуль r и аргумент \varphi: x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi.

Свойства аргумента

  1. \text{tg } \varphi = \frac{y}{x}, \text{ }\text{ctg } \varphi = \frac{x}{y}, \text{ } \sin \varphi = \frac{y}{r}, \text{ } \cos \varphi = \frac{x}{r}
  2. Для комплексного числа z \neq 0 аргумент определяется с точностью до 2 \pi n, \text{ }n \in Z.
    Для z=0 значение аргумента не определено.
  3. Главным значением аргумента называется число \varphi \in (-\pi; \text{ } \pi] . Для обратного числа выполняется свойство: \arg \left( \frac{1}{z} \right) = - \arg z .

Два комплексно сопряженных числа имеют равные модули, а их аргументы отличаются знаком.

ПРИМЕР
Задание Найти аргумент комплексного числа z=1-i .
Решение Действительной частью комплексного числа z=1-i является число x=\text{Re }z=1 мнимой частью является y=\text{Im }z=-1 .

Аргумент комплексного числа вычисляется по формуле:

    \[    \varphi = \arg z = \text{arctg } \frac{y}{x} = \text{arctg } \frac{-1}{1} = \text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4} \]

Ответ