Интеграл от дроби

Нужно запомнить, что интеграл от дроби не равен интегралу числителя, деленному на интеграл знаменателя:

$\int{\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}dx}\ne \frac{\int{f\left( x \right)dx}}{\int{g\left( x \right)dx}}$

Для интегрирования подобных выражений существует несколько методов, которые зависят от вида подынтегральной функции.

Первый метод вычисления интеграла от дроби

Подынтегральная функция является отношением двух многочленов и представляет собою неправильную дробь (степень числителя больше или равна степени знаменателя). Тогда нужно выделить целую часть, для этого в числителе либо нужно выделить выражение, стоящее в знаменателе, либо поделить числитель на знаменатель в столбик.

ПРИМЕР 1

Задание

Найти интеграл

$\int{\frac{x-1}{x+2}dx}$

Решение

Подынтегральная функция представляет собой неправильную дробь, поэтому выделим целую часть. Для этого применим два способа.

1) Поделим числитель на знаменатель в столбик:

То есть

$\frac{x-1}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}$

2) Выделим в числителе выражение, стоящее в знаменателе:

$\frac{x-1}{x+2}=\frac{x+2-3}{x+2}=\frac{\left( x+2 \right)-3}{x+2}=\frac{x+2}{x+2}-\frac{3}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}$

Таким образом:

$\int{\frac{x-1}{x+2}dx}=\int{\left( 1-\frac{3}{x+2} \right)dx}$

Интеграл от разности двух функций равен разности интегралов от каждой из них:

$\int{\frac{x-1}{x+2}dx}=\int{dx}-3\int{\frac{dx}{x+2}}=x-3\ln \left| x+2 \right|+C$

Ответ

Замечание. Если степень многочлена, стоящего в числителе, большее степени многочлена, стоящего в знаменателе, то рациональнее для выделения целой части делить числитель на знаменатель в столбик.

Второй метод

Для дробей типа

$\int{\frac{dx}{a{{x}^{2}}\pm {{c}^{2}}}} \text{ },\text{ } \int{\frac{dx}{\sqrt{a{{x}^{2}}\pm {{c}^{2}}}}} \text{ },\text{ }\int{\frac{dx}{\sqrt{{{c}^{2}}-a{{x}^{2}}}}},\ a,c\ne 0$

применяется метод замены переменной или заданный интеграл сводится к табличным.

ПРИМЕР 2

Задание

Решить интеграл

$\int{\frac{dx}{\sqrt{4{{x}^{2}}+1}}}$

Решение

Вынесем четверку в знаменателе из-под знака корня:

$\int{\frac{dx}{\sqrt{4{{x}^{2}}+1}}}=\int{\frac{dx}{2\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{4}}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}}}$

Свели данный интеграл к табличному, который называется «длинный логарифм»:

$\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}}}}=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}} \right|+C$

Тогда для заданного интеграла имеем:

$\int{\frac{dx}{\sqrt{4{{x}^{2}}+1}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}}}=\frac{1}{2}\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}} \right|+C$

Ответ

Третий метод вычисления интеграла от дроби

Интегралы вида

$\int{\frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}} \text{ },\text{ } \int{\frac{dx}{\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}}}$

находятся с помощью выделения полного квадрата в знаменателе, что позволит свести их к табличным интегралам.

ПРИМЕР 3

Задание

Найти интеграл

$\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}$

Решение

Выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:

$\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+2\cdot x\cdot \frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}-1}}=\int{\frac{dx}{{{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{5}{4}}}=$

$=\int{\frac{dx}{{{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}}}$

Сделаем замену переменных:

$x+\frac{1}{2}=t \text{ } \Rightarrow \text{ } dx=dt$

Интеграл принимает вид:

$\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}-{{\left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}}}$

Таким образом, свели интеграл к табличному интегралу – «высокий логарифм»:

$\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}=\frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C$

Тогда имеем:

$\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\frac{1}{2\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}}\ln \left| \frac{t-\frac{\sqrt{5}}{2}}{t+\frac{\sqrt{5}}{2}} \right|+C$

Возвращаемся к старой переменной и упрощаем:

$\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\ln \left| \frac{2\left( x+\frac{1}{2} \right)-\sqrt{5}}{2\left( x+\frac{1}{2} \right)+\sqrt{5}} \right|+C=\frac{\sqrt{5}}{5}\ln \left| \frac{2x+1-\sqrt{5}}{2x+1+\sqrt{5}} \right|+C$

Ответ

Четвертый метод

Для интегралов вида

$\int{\frac{\left( f\,x+g \right)dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}} \text{ },\text{ } \int{\frac{\left( f\,x+g \right)dx}{\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}}}$

применяется следующий подход. В числителе выделяется производная знаменателя, далее дробь почленно делится: получаем сумму двух интегралов, в числителе одного из них стоит производная знаменателя, а второго – константа. Первый из интегралов находится методом замены, метод нахождения второго описан выше.

ПРИМЕР 4

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int{\frac{\left( 3x+2 \right)dx}{{{x}^{2}}+x-1}}$

Решение

Выделим в числителе подынтегральной функции выражение, равное, производной знаменателя ${{\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)}^{\prime }}=2x+1 :$

$3x+2=\frac{3}{2}\cdot 2x+2=\frac{3}{2}\cdot \left( 2x+1-1 \right)+2=\frac{3}{2}\cdot \left( 2x+1 \right)-\frac{3}{2}+2=\frac{3}{2}\cdot \left( 2x+1 \right)+\frac{1}{2}$

Тогда заданный интеграл принимает вид:

$\int{\frac{\left( 3x+2 \right)dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\int{\frac{\frac{3}{2}\cdot \left( 2x+1 \right)+\frac{1}{2}}{{{x}^{2}}+x-1}dx}=\frac{3}{2}\int{\frac{\left( 2x+1 \right)dx}{{{x}^{2}}+x-1}}+\frac{3}{4}\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}$

Для первого интеграла делаем замену переменных:

${{x}^{2}}+x-1=t \text{ } \Rightarrow \text{ } \left( 2x+1 \right)dx=dt$

Второй интеграл был найден в предыдущем примере.

Итак, имеем:

$\int{\frac{\left( 3x+2 \right)dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\frac{3}{2}\int{\frac{dt}{t}}+\frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{5}}{5}\ln \left| \frac{2x+1-\sqrt{5}}{2x+1+\sqrt{5}} \right|=\frac{3}{2}\ln \left| t \right|+\frac{3\sqrt{5}}{20}\ln \left| \frac{2x+1-\sqrt{5}}{2x+1+\sqrt{5}} \right|+C=$

$=\frac{3}{2}\ln \left| {{x}^{2}}+x-1 \right|+\frac{3\sqrt{5}}{20}\ln \left| \frac{2x+1-\sqrt{5}}{2x+1+\sqrt{5}} \right|+C$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Интеграл от дроби

Первый метод вычисления интеграла от дроби

Второй метод

Третий метод вычисления интеграла от дроби

Четвертый метод