Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интеграл от дроби

Нужно запомнить, что интеграл от дроби не равен интегралу числителя, деленному на интеграл знаменателя:

    \[ \int{\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}dx}\ne \frac{\int{f\left( x \right)dx}}{\int{g\left( x \right)dx}} \]

Для интегрирования подобных выражений существует несколько методов, которые зависят от вида подынтегральной функции.

Первый метод вычисления интеграла от дроби

Подынтегральная функция является отношением двух многочленов и представляет собою неправильную дробь (степень числителя больше или равна степени знаменателя). Тогда нужно выделить целую часть, для этого в числителе либо нужно выделить выражение, стоящее в знаменателе, либо поделить числитель на знаменатель в столбик.

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл

    \[ \int{\frac{x-1}{x+2}dx} \]

Решение Подынтегральная функция представляет собой неправильную дробь, поэтому выделим целую часть. Для этого применим два способа.

1) Поделим числитель на знаменатель в столбик:

То есть

    \[ \frac{x-1}{x+2}=1-\frac{3}{x+2} \]

2) Выделим в числителе выражение, стоящее в знаменателе:

    \[\frac{x-1}{x+2}=\frac{x+2-3}{x+2}=\frac{\left( x+2 \right)-3}{x+2}=\frac{x+2}{x+2}-\frac{3}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}\]

Таким образом:

    \[\int{\frac{x-1}{x+2}dx}=\int{\left( 1-\frac{3}{x+2} \right)dx}\]

Интеграл от разности двух функций равен разности интегралов от каждой из них:

    \[\int{\frac{x-1}{x+2}dx}=\int{dx}-3\int{\frac{dx}{x+2}}=x-3\ln \left| x+2 \right|+C\]

Ответ

Замечание. Если степень многочлена, стоящего в числителе, большее степени многочлена, стоящего в знаменателе, то рациональнее для выделения целой части делить числитель на знаменатель в столбик.

Второй метод

Для дробей типа

    \[ \int{\frac{dx}{a{{x}^{2}}\pm {{c}^{2}}}} \text{ },\text{ } \int{\frac{dx}{\sqrt{a{{x}^{2}}\pm {{c}^{2}}}}} \text{ },\text{ }\int{\frac{dx}{\sqrt{{{c}^{2}}-a{{x}^{2}}}}},\ a,c\ne 0 \]

применяется метод замены переменной или заданный интеграл сводится к табличным.

ПРИМЕР 2
Задание Решить интеграл

    \[ \int{\frac{dx}{\sqrt{4{{x}^{2}}+1}}} \]

Решение Вынесем четверку в знаменателе из-под знака корня:

    \[\int{\frac{dx}{\sqrt{4{{x}^{2}}+1}}}=\int{\frac{dx}{2\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{4}}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}}}\]

Свели данный интеграл к табличному, который называется «длинный логарифм»:

    \[\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}}}}=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}} \right|+C\]

Тогда для заданного интеграла имеем:

    \[\int{\frac{dx}{\sqrt{4{{x}^{2}}+1}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}}}=\frac{1}{2}\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}} \right|+C\]

Ответ

Третий метод вычисления интеграла от дроби

Интегралы вида

    \[ \int{\frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}} \text{ },\text{ } \int{\frac{dx}{\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}}} \]

находятся с помощью выделения полного квадрата в знаменателе, что позволит свести их к табличным интегралам.

ПРИМЕР 3
Задание Найти интеграл

    \[ \int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}} \]

Решение Выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:

    \[\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+2\cdot x\cdot \frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}-1}}=\int{\frac{dx}{{{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{5}{4}}}=\]

    \[=\int{\frac{dx}{{{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}}}\]

Сделаем замену переменных:

    \[x+\frac{1}{2}=t \text{ } \Rightarrow \text{ } dx=dt\]

Интеграл принимает вид:

    \[\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}-{{\left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}}}\]

Таким образом, свели интеграл к табличному интегралу – «высокий логарифм»:

    \[\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}=\frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C\]

Тогда имеем:

    \[\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\frac{1}{2\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}}\ln \left| \frac{t-\frac{\sqrt{5}}{2}}{t+\frac{\sqrt{5}}{2}} \right|+C\]

Возвращаемся к старой переменной и упрощаем:

    \[\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\ln \left| \frac{2\left( x+\frac{1}{2} \right)-\sqrt{5}}{2\left( x+\frac{1}{2} \right)+\sqrt{5}} \right|+C=\frac{\sqrt{5}}{5}\ln \left| \frac{2x+1-\sqrt{5}}{2x+1+\sqrt{5}} \right|+C\]

Ответ

Четвертый метод

Для интегралов вида

    \[ \int{\frac{\left( f\,x+g \right)dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}} \text{ },\text{ } \int{\frac{\left( f\,x+g \right)dx}{\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}}} \]

применяется следующий подход. В числителе выделяется производная знаменателя, далее дробь почленно делится: получаем сумму двух интегралов, в числителе одного из них стоит производная знаменателя, а второго – константа. Первый из интегралов находится методом замены, метод нахождения второго описан выше.

ПРИМЕР 4
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[ \int{\frac{\left( 3x+2 \right)dx}{{{x}^{2}}+x-1}} \]

Решение Выделим в числителе подынтегральной функции выражение, равное, производной знаменателя {{\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)}^{\prime }}=2x+1 :

    \[3x+2=\frac{3}{2}\cdot 2x+2=\frac{3}{2}\cdot \left( 2x+1-1 \right)+2=\frac{3}{2}\cdot \left( 2x+1 \right)-\frac{3}{2}+2=\frac{3}{2}\cdot \left( 2x+1 \right)+\frac{1}{2}\]

Тогда заданный интеграл принимает вид:

    \[\int{\frac{\left( 3x+2 \right)dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\int{\frac{\frac{3}{2}\cdot \left( 2x+1 \right)+\frac{1}{2}}{{{x}^{2}}+x-1}dx}=\frac{3}{2}\int{\frac{\left( 2x+1 \right)dx}{{{x}^{2}}+x-1}}+\frac{3}{4}\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}\]

Для первого интеграла делаем замену переменных:

    \[{{x}^{2}}+x-1=t \text{ } \Rightarrow \text{ } \left( 2x+1 \right)dx=dt\]

Второй интеграл был найден в предыдущем примере.

Итак, имеем:

    \[\int{\frac{\left( 3x+2 \right)dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\frac{3}{2}\int{\frac{dt}{t}}+\frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{5}}{5}\ln \left| \frac{2x+1-\sqrt{5}}{2x+1+\sqrt{5}} \right|=\frac{3}{2}\ln \left| t \right|+\frac{3\sqrt{5}}{20}\ln \left| \frac{2x+1-\sqrt{5}}{2x+1+\sqrt{5}} \right|+C=\]

    \[=\frac{3}{2}\ln \left| {{x}^{2}}+x-1 \right|+\frac{3\sqrt{5}}{20}\ln \left| \frac{2x+1-\sqrt{5}}{2x+1+\sqrt{5}} \right|+C\]

Ответ