Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная дроби

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат исходного знаменателя.

    \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции

    \[ 				y = \frac{x}{\ln x} 				\]

Решение Продифференцируем заданную функцию:

    \[ 				y' = \left( \frac{x}{\ln x} \right)' 				\]

Согласно формуле производной дроби, имеем:

    \[ 				y' = \frac{(x)' \cdot \ln x - x \cdot (\ln x)'}{(\ln x)^2} = \frac{1 \cdot \ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^2 x} = \frac{\ln x -1}{\ln^2 x} 				\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции

    \[ 				y = \frac{x+1}{\sin x} 				\]

Решение Искомая производная

    \[ 				y' = \left( \frac{x + 1}{ \sin x} \right)' 				\]

Используя формулу «производная частного», получим:

    \[ 				y' = \frac{(x +1)' \cdot \sin x - (x +1) \cdot (\sin x)'}{(\sin x)^2} = \frac{\left[ (x)' +(1)' \right] \cdot \sin x - (x +1) \cdot \cos x}{\sin^2 x} = 				\]

    \[ 				= \frac{(1 + 0) \cdot \sin x - (x +1) \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{\sin x - (x +1) \cdot \cos x}{\sin^2 x} 				\]

Ответ