Производная дроби

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат исходного знаменателя.

$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции

$y = \frac{x}{\ln x}$

Решение

Продифференцируем заданную функцию:

$y' = \left( \frac{x}{\ln x} \right)'$

Согласно формуле производной дроби, имеем:

$y' = \frac{(x)' \cdot \ln x - x \cdot (\ln x)'}{(\ln x)^2} = \frac{1 \cdot \ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^2 x} = \frac{\ln x -1}{\ln^2 x}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции

$y = \frac{x+1}{\sin x}$

Решение

Искомая производная

$y' = \left( \frac{x + 1}{ \sin x} \right)'$

Используя формулу «производная частного», получим:

$y' = \frac{(x +1)' \cdot \sin x - (x +1) \cdot (\sin x)'}{(\sin x)^2} = \frac{\left[ (x)' +(1)' \right] \cdot \sin x - (x +1) \cdot \cos x}{\sin^2 x} =$

$= \frac{(1 + 0) \cdot \sin x - (x +1) \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{\sin x - (x +1) \cdot \cos x}{\sin^2 x}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Производная дроби