Производная тангенса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная тангенса равна единице, деленной на косинус того же аргумента в квадрате.

$\left( \text{tg} x \right)' = \frac{1}{\cos^{2} x}$

Эту формулу легко получить, зная производные синуса и косинуса:

$\left( \sin x \right)' = \cos x \text{ },\text{ } \left( \cos x \right)' = -\sin x$

а также формулу дифференцирования частного:

$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - uv'}{v^{2}}$

Согласно тригонометрическим формулам

$\text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Тогда

$\left( \text{tg} x \right)' = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)' = \frac{\left( \sin x \right) ' \cdot \cos x - \sin x \cdot \left( \cos x \right)'}{\left( \cos x \right)^{2}} =$

$= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \left( - \sin x \right)}{ \cos^{2} x } = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{ \cos^{2} x } = \frac{1}{\cos^{2} x}$

Примеры решения задач по теме «Производная тангенса»

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $y(x) = \text{tg}^{2}x$

Решение

Искомая производная:

$y'(x) = \left( \text{tg}^{2}x \right)'$

Перепишем функцию, стоящую под знаком производной, следующим образом:

$y'(x) = \left( \left( \text{tg} x \right)^{2} \right)'$

То есть функция представляем собой степенную функцию. Производная от такой функции находится по формуле:

$\left( x^{n} \right)' = n x^{n-1}$

Так как основание степени представляет собой выражение более сложное, чем просто $x$ , то умножаем еще и на производную от основания:

$y'(x) = \left( \left( \text{tg} x \right)^{2} \right)' = 2 \left( \text{tg} x \right)^{2-1} \cdot \left( \text{tg} x \right)'$

Производная тангенса равна единице деленной на косинус в квадрате, тогда

$y'(x) = 2 \text{tg} x \cdot \frac{1}{\cos^{2} x} = \frac{2 \text{tg} x}{\cos^{2} x}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции $y(x) = 2 \text{tg} 5x$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( 2 \text{tg} 5x \right)'$

Согласно правилам дифференцирования, константа выносится за знак производной:

$y'(x) = 2 \cdot \left( \text{tg} 5x \right)'$

Производную от тангенса находим по формуле:

$\left( \text{tg} x \right)' = \frac{1}{\cos^{2} x}$

Но так как в нашем примере аргумент тангенса есть сложной функцией (выражение $5x$ отлично от просто $x$ ), то мы еще домножаем на производную аргумента $\left( 5x \right)'$ :

$y'(x) = 2 \cdot \left( \text{tg} 5x \right)' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^{2} 5x} \cdot \left( 5x \right)'$

Константу 5 выносим за знак производной:

$y'(x) = 2 \cdot \left( \text{tg} 5x \right)' = \frac{2}{\cos^{2} 5x} \cdot 5 \cdot \left( x \right)' = \frac{10}{\cos^{2} 5x} \cdot \left( x \right)'$

Производная от независимой переменной $x$ равна одному:

$y'(x) = \frac{10}{\cos^{2} 5x} \cdot \left( x \right)' = \frac{10}{\cos^{2} 5x} \cdot 1 = \frac{10}{\cos^{2} 5x}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Производная тангенса

Примеры решения задач по теме «Производная тангенса»