Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная тангенса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная тангенса равна единице, деленной на косинус того же аргумента в квадрате.

    \[    \left( \text{tg} x \right)' = \frac{1}{\cos^{2} x} \]

Эту формулу легко получить, зная производные синуса и косинуса:

    \[    \left( \sin x \right)' = \cos x \text{ },\text{ } \left( \cos x \right)' = -\sin x \]

а также формулу дифференцирования частного:

    \[    \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - uv'}{v^{2}} \]

Согласно тригонометрическим формулам

    \[    \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \]

Тогда

    \[    \left( \text{tg} x \right)' = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)' = \frac{\left( \sin x \right) ' \cdot \cos x - \sin x \cdot \left( \cos x \right)'}{\left( \cos x \right)^{2}} = \]

    \[    = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \left( - \sin x \right)}{ \cos^{2} x } = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{ \cos^{2} x } = \frac{1}{\cos^{2} x} \]

Примеры решения задач по теме «Производная тангенса»

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = \text{tg}^{2}x
Решение Искомая производная:

    \[    y'(x) = \left( \text{tg}^{2}x \right)' \]

Перепишем функцию, стоящую под знаком производной, следующим образом:

    \[    y'(x) = \left( \left( \text{tg} x \right)^{2} \right)' \]

То есть функция представляем собой степенную функцию. Производная от такой функции находится по формуле:

    \[    \left( x^{n} \right)' = n x^{n-1} \]

Так как основание степени представляет собой выражение более сложное, чем просто x, то умножаем еще и на производную от основания:

    \[    y'(x) = \left( \left( \text{tg} x \right)^{2} \right)' = 2 \left( \text{tg} x \right)^{2-1} \cdot \left( \text{tg} x \right)' \]

Производная тангенса равна единице деленной на косинус в квадрате, тогда

    \[    y'(x) = 2 \text{tg} x \cdot \frac{1}{\cos^{2} x} =  \frac{2 \text{tg} x}{\cos^{2} x} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = 2 \text{tg} 5x
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( 2 \text{tg} 5x \right)' \]

Согласно правилам дифференцирования, константа выносится за знак производной:

    \[    y'(x) = 2 \cdot \left( \text{tg} 5x \right)' \]

Производную от тангенса находим по формуле:

    \[    \left( \text{tg} x \right)' = \frac{1}{\cos^{2} x} \]

Но так как в нашем примере аргумент тангенса есть сложной функцией (выражение 5x отлично от просто x), то мы еще домножаем на производную аргумента \left( 5x \right)':

    \[    y'(x) = 2 \cdot \left( \text{tg} 5x \right)' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^{2} 5x} \cdot \left( 5x \right)' \]

Константу 5 выносим за знак производной:

    \[    y'(x) = 2 \cdot \left( \text{tg} 5x \right)' = \frac{2}{\cos^{2} 5x} \cdot 5 \cdot \left( x \right)' = \frac{10}{\cos^{2} 5x} \cdot \left( x \right)' \]

Производная от независимой переменной x равна одному:

    \[    y'(x) = \frac{10}{\cos^{2} 5x} \cdot \left( x \right)' = \frac{10}{\cos^{2} 5x} \cdot 1 = \frac{10}{\cos^{2} 5x} \]

Ответ