Производная обратной пропорциональности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная от единицы, деленной на $x$ равна минус единица, деленная на $x^{2}$ .

$\left( \frac{1}{x} \right)' = - \frac{1}{x^{2}}$

Производную от этой функции можно найти, используя формулу дифференцирования степенной функции:

$\left( x^{n} \right)' = n x^{n-1}$

и свойство степеней:

$x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}$

Будем иметь:

$\left( \frac{1}{x} \right)' = \left( x^{-1} \right)' = -1 \cdot x^{-1-1} = - x^{-2} = - \frac{1}{x^{2}}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $y(x) = \frac{2}{x} - \pi$

Решение

Искомая производная равна

$y'(x) = \left( \frac{2}{x} - \pi \right)'$

Производная от разности равна разности производных, то есть

$y'(x) = \left( \frac{2}{x} - \pi \right)' = \left( \frac{2}{x} \right)' - \left( \pi \right)'$

Воспользуемся правилом дифференцирования: константу можно выносить за знак производной, тогда

$\left( \frac{2}{x} \right)' = 2 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)'$

Производная от $\frac{1}{x}$ равна $-\frac{1}{x^{2}}$ , то есть

$\left( \frac{2}{x} \right)' = 2 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)' = 2 \cdot \left( -\frac{1}{x^{2}} \right) = -\frac{2}{x^{2}}$

Производная от $\pi$ , как производная константы, равна нулю:

$\left( \pi \right)' = 0$

Таким образом, имеем:

$y'(x) = \left( \frac{2}{x} \right)' - \left( \pi \right)' = -\frac{2}{x^{2}} - 0 = -\frac{2}{x^{2}}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции $y(x) = \frac{1}{\cos x}$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( \frac{1}{\cos x} \right)'$

Производная заданной дроби равна минус единице, деленной на знаменатель в квадрате. Но так как в знаменателе стоит сложная функция $\cos x$ , которая отлична от просто $x$ , то надо еще умножить на производную от знаменателя. Из того, что $\left( \cos x \right)' = - \sin x$ , имеем:

$y'(x) = \left( \frac{1}{\cos x} \right)' = - \frac{1}{\left( \cos x \right)^{2}} \cdot \left( \cos x \right)' = - \frac{1}{ \cos^{2} x} \cdot \left( - \sin x \right) = \frac{\sin x}{ \cos ^{2} x}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!