Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная обратной пропорциональности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная от единицы, деленной на x равна минус единица, деленная на x^{2} .

    \[    \left( \frac{1}{x} \right)' = - \frac{1}{x^{2}} \]

Производную от этой функции можно найти, используя формулу дифференцирования степенной функции:

    \[    \left( x^{n} \right)' = n x^{n-1} \]

и свойство степеней:

    \[    x^{-n} = \frac{1}{x^{n}} \]

Будем иметь:

    \[    \left( \frac{1}{x} \right)' = \left( x^{-1} \right)' = -1 \cdot x^{-1-1} = - x^{-2} = - \frac{1}{x^{2}} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = \frac{2}{x} - \pi
Решение Искомая производная равна

    \[    y'(x) = \left( \frac{2}{x} - \pi \right)' \]

Производная от разности равна разности производных, то есть

    \[    y'(x) = \left( \frac{2}{x} - \pi \right)' = \left( \frac{2}{x} \right)' - \left( \pi \right)'  \]

Воспользуемся правилом дифференцирования: константу можно выносить за знак производной, тогда

    \[    \left( \frac{2}{x} \right)' = 2 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)' \]

Производная от \frac{1}{x} равна -\frac{1}{x^{2}} , то есть

    \[    \left( \frac{2}{x} \right)' = 2 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)' = 2 \cdot \left( -\frac{1}{x^{2}} \right) = -\frac{2}{x^{2}} \]

Производная от \pi, как производная константы, равна нулю:

    \[    \left( \pi \right)' = 0 \]

Таким образом, имеем:

    \[    y'(x) = \left( \frac{2}{x} \right)' - \left( \pi \right)' = -\frac{2}{x^{2}} - 0 = -\frac{2}{x^{2}} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = \frac{1}{\cos x}
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( \frac{1}{\cos x} \right)' \]

Производная заданной дроби равна минус единице, деленной на знаменатель в квадрате. Но так как в знаменателе стоит сложная функция \cos x, которая отлична от просто x, то надо еще умножить на производную от знаменателя. Из того, что \left( \cos x \right)' = - \sin x, имеем:

    \[    y'(x) = \left( \frac{1}{\cos x} \right)' = - \frac{1}{\left( \cos x \right)^{2}} \cdot \left( \cos x \right)' = - \frac{1}{ \cos^{2} x} \cdot \left( - \sin x \right) = \frac{\sin x}{ \cos ^{2} x} \]

Ответ