Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интеграл разности

Интеграл разности равен разности интегралов

    \[ \int{(f(x) - g(x))dx} = \int{f(x)dx} - \int{g(x)dx} \]

Отметим, что данная формула распространена и на большее конечное число функций, то есть

    \[\int{(f(x) - g_1(x) - g_2(x) - \ldots - g_n(x))dx} = \int{f(x) dx } - \int{g_1(x) dx } - \int{g_2(x) dx } - \ldots - \int{g_n(x)}dx}\]

Примеры решения задач по теме «Интеграл разности»

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл \int{\left( x-\sin x \right)dx}
Решение Интеграл разности равен разности интегралов, тогда

    \[\int{\left( x-\sin x \right)dx}=\int{xdx}-\int{\sin xdx}\]

Интеграл от степенной функции

    \[\int{{{x}^{n}}dx}=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C\]

а от синуса равен минус косинусу:

    \[\int{\sin xdx}=-\cos x+C\]

Тогда искомый интеграл

    \[\int{\left( x-\sin x \right)dx}=\frac{{{x}^{1+1}}}{1+1}-\left( -\cos x \right)+C=\frac{{{x}^{2}}}{2}+\cos x+C\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Решить интеграл \int{\left( 2x-\text{tg}\,x \right)dx}
Решение Интеграл разности равен разности интегралов:

    \[\int{\left( 2x-\text{tg}\,x \right)dx}=\int{2xdx}-\int{\text{tg}\,xdx}\]

Константу можно выносить за знак производной, а интеграл от тангенса

    \[\int{\text{tg}\,xdx}=-\ln \left| \cos x \right|+C\]

Тогда

    \[\int{\left( 2x-\text{tg}\,x \right)dx}=2\int{xdx}-\left( -\ln \left| \cos x \right| \right)\]

Интеграл степенной функции

    \[\int{{{x}^{n}}dx}=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C\]

отсюда имеем:

    \[\int{\left( 2x-\text{tg}\,x \right)dx}=2\cdot \frac{{{x}^{1+1}}}{1+1}+\ln \left| \cos x \right|+C={{x}^{2}}+\ln \left| \cos x \right|+C\]

Ответ \int{\left( 2x-\text{tg}\,x \right)dx}={{x}^{2}}+\ln \left| \cos x \right|+C