Интегралы: основные понятия и определения

Неопределенные интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неопределенным интегралом от функции $f\left( x \right)$ называется выражение вида $\int{f\left( x \right)dx}$ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неопределенный интеграл $\int{f\left( x \right)dx}$ – это такая функция $F\left( x \right)+C$ , производная которой равна подынтегральной функции $f\left( x \right)$ , то есть

$\int{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C; \qquad {{\left( F\left( x \right)+C \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)$

В выражении $\int{f\left( x \right)dx}$ символом $\int$ обозначается интеграл, $f\left( x \right)dx$ – подынтегральное выражение, $f\left( x \right)$ – подынтегральная функция, $x$ – переменная интегрирования, $dx$ – дифференциал переменной интегрирования.

Задача нахождения неопределенного интеграла $\int{f\left( x \right)dx}$ заключается в нахождении такой функции $F\left( x \right)+C$ , производная которой равна подынтегральной функции.

Первообразная функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция $F\left( x \right)$ называется первообразной для функции $f\left( x \right)$ .

ПРИМЕР 1

Для функции $f\left( x \right)=1$ первообразной является функция $F\left( x \right)=x$ , так как

${F}'\left( x \right)={{\left( x \right)}^{\prime }}=1=f\left( x \right),$

тогда

$\int{f\left( x \right)dx}=\int{1\cdot dx}=\int{dx}=F\left( x \right)+C=x+C$

ТЕОРЕМА

Первообразная функции $f\left( x \right)$ определяется с точностью до постоянной величины.

ПРИМЕР 2

Задание

Доказать, что для функции $f\left( x \right)=2x$ первообразной есть как функция $F\left( x \right)={{x}^{2}}$ , так и функция $\Phi \left( x \right)={{x}^{2}}-2$

Решение

Функция $F\left( x \right)={{x}^{2}}$ будет первообразной для функции $f\left( x \right)=2x$ , если будем иметь место равенство ${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)$ . Проверим его выполнение:

${F}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=2x=f\left( x \right)$

То есть $F\left( x \right)={{x}^{2}}$ действительно является первообразной функции $f\left( x \right)=2x$ .

Аналогично проверим выполнение равенства ${\Phi }'\left( x \right)=f\left( x \right)$ :

${\Phi }'\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-{{\left( 2 \right)}^{\prime }}=2x-0=2x=f\left( x \right)$

Итак, равенство выполняется, а тогда функция $\Phi \left( x \right)={{x}^{2}}-2$ – первообразная для функции $f\left( x \right)=2x$ . Неопределенные интегралы от некоторых функций не берутся в элементарных функциях.

Что и требовалось доказать.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Интегралы: основные понятия и определения

Неопределенные интегралы

Первообразная функции