Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интегралы: основные понятия и определения

Неопределенные интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неопределенным интегралом от функции f\left( x \right) называется выражение вида \int{f\left( x \right)dx}.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неопределенный интеграл \int{f\left( x \right)dx} – это такая функция F\left( x \right)+C, производная которой равна подынтегральной функции f\left( x \right), то есть

    \[ \int{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C; \qquad {{\left( F\left( x \right)+C \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)\]

В выражении \int{f\left( x \right)dx} символом \int обозначается интеграл, f\left( x \right)dx – подынтегральное выражение, f\left( x \right) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования, dxдифференциал переменной интегрирования.

Задача нахождения неопределенного интеграла \int{f\left( x \right)dx} заключается в нахождении такой функции F\left( x \right)+C, производная которой равна подынтегральной функции.

Первообразная функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция F\left( x \right) называется первообразной для функции f\left( x \right).
ПРИМЕР 1
Для функции f\left( x \right)=1 первообразной является функция F\left( x \right)=x, так как

    \[{F}'\left( x \right)={{\left( x \right)}^{\prime }}=1=f\left( x \right), \]

тогда

    \[\int{f\left( x \right)dx}=\int{1\cdot dx}=\int{dx}=F\left( x \right)+C=x+C\]

ТЕОРЕМА
Первообразная функции f\left( x \right) определяется с точностью до постоянной величины.
ПРИМЕР 2
Задание Доказать, что для функции f\left( x \right)=2x первообразной есть как функция F\left( x \right)={{x}^{2}}, так и функция \Phi \left( x \right)={{x}^{2}}-2
Решение Функция F\left( x \right)={{x}^{2}} будет первообразной для функции f\left( x \right)=2x, если будем иметь место равенство {F}'\left( x \right)=f\left( x \right). Проверим его выполнение:

    \[{F}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=2x=f\left( x \right)\]

То есть F\left( x \right)={{x}^{2}} действительно является первообразной функции f\left( x \right)=2x.

Аналогично проверим выполнение равенства {\Phi }'\left( x \right)=f\left( x \right):

    \[{\Phi }'\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-{{\left( 2 \right)}^{\prime }}=2x-0=2x=f\left( x \right)\]

Итак, равенство выполняется, а тогда функция \Phi \left( x \right)={{x}^{2}}-2 – первообразная для функции f\left( x \right)=2x. Неопределенные интегралы от некоторых функций не берутся в элементарных функциях.

Что и требовалось доказать.