Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Несобственный интеграл

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования, или определенный интеграл по конечному промежутку, но от функции, терпящей на этом промежутке разрыв, называется несобственным интегралом.

Несобственный интеграл первого рода

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть функция y=f\left( x \right) непрерывна на промежутке \left[ a;\ +\infty  \right). Если существует конечный предел \underset{b\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}, то он называется несобственным интегралом первого рода и обозначается \int\limits_{a}^{\infty }{f\left( x \right)dx}.

Таким образом, по определению

    \[\int\limits_{a}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}=\underset{b\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\]

Если такой предел существует, то говорят, что несобственный интеграл \int\limits_{a}^{\infty }{f\left( x \right)dx} сходится. В противном случае, если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл является расходящимся.

Аналогичным образом задается несобственный интеграл на промежутке \left( -\infty ;\ b \right].

Несобственный интеграл первого рода с двумя бесконечными пределами определяется формулой:

    \[\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-\infty }^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{+\infty }{f\left( x \right)dx}\]

Такой несобственный интеграл сходится только в том случае, когда оба несобственных интеграла в правой части являются сходящимися.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

    \[\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}\]

Решение Заданный интеграл является несобственным интегралом первого рода, так как на промежутке интегрирования \left[ 1;\ +\infty  \right) подынтегральная функция f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}} является непрерывной, но один из пределов интегрирования равен бесконечности. Тогда, согласно определению, имеем:

    \[\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}=\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim 	}}\,\int\limits_{1}^{a}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}=-\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left. \frac{1}{x} 	\right|_{0}^{a}=-\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{a}-1 \right)=-\left( 0-1 \right)=1\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Решить несобственный интеграл или установить его расходимость.

    \[\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{dx}{x}}\]

Решение Рассматриваемый интеграл является несобственным интегралом первого рода, так как функция f\left( x \right)=\frac{1}{x} на полубесконечном промежутке \left[ 1;\ +\infty  \right) непрерывна, но правый предел интегрирования бесконечен. Согласно определению, перейдем к границе

    \[\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{dx}{x}}=\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{1}^{a}{\frac{dx}{x}}=\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left. \ln x \right|_{1}^{a}=\underset{a\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \ln a-0 \right)=+\infty \]

то есть интеграл расходится.

Ответ Интеграл расходится.

Несобственный интеграл второго рода

Пусть некоторая функция y=f\left( x \right) непрерывна на промежутке \left[ a;\ b \right), а в точке x=b имеет разрыв второго рода. Если существует конечный предел \underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b-\varepsilon }{f\left( x \right)dx}, то он называется несобственным интегралом второго рода и обозначается \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}, то есть

    \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b-\varepsilon }{f\left( x \right)dx}\]

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся. В случае, когда предел не существует или равен бесконечности, несобственный интеграл является расходящимся.

Аналогично, если в точке x=a подынтегральная функция y=f\left( x \right) терпит бесконечный разрыв, то несобственный интеграл второго рода определяется равенством:

    \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a+\varepsilon }^{b}{f\left( x \right)dx}\]

Если подынтегральная функция терпит разрыв в некоторой внутренней точке c отрезка \left[ a;\ b \right], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

    \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}\]

Интеграл, стоящий в левой части равенства, называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части приведенного равенства.

ПРИМЕР 3
Задание Вычислить интеграл или установить, что он является расходящимся.

    \[\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}\]

Решение В точке x=0, принадлежащей промежутку интегрирования \left( 0;\ 1 \right], подынтегральная функция f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}} терпит разрыв второго рода:

    \[\underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 0+0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{2}}}\ =\left[ \frac{1}{{{\left( 0+0 \right)}^{2}}}=\frac{1}{+0} \right]=+\infty \]

Поэтому рассматриваемый интеграл является несобственным интегралом второго рода, тогда, согласно определению, имеем:

    \[\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}=\underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{0+\varepsilon }^{1}{\frac{dx}{{{x}^{2}}}}=\underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\left. \left( -\frac{1}{x} \right) \right|_{\varepsilon }^{1}=-\underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\frac{1}{\varepsilon } \right)=-1+\underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\varepsilon }=\infty \]

а значит, заданный интеграл является расходящимся.

Ответ Интеграл расходится.