Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы интегрирования функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) , если выполняется равенство:

    \[{F}'\left( x \right)=f\left( x \right)\]

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается

    \[\int f(x) dx=F\left( x \right)+C\]

где C – произвольная постоянная. Ниже описаны основные свойства и формулы интегрирования функций:

Формулы интегрирования функций

Свойства неопределенного интеграла

Константу можно выносить за знак интеграла:

    \[\int{c\cdot f\left( x \right)dx}=c\int{f\left( x \right)dx}\]

Интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов от каждой из них:

    \[\int{\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]dx}=\int{f\left( x \right)dx}\pm \int{g\left( x \right)dx}\]

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

    \[{{\left( \int{f\left( x \right)dx} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)\]

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл

    \[ \int{\frac{2\sqrt{x}+x\cos x}{x}dx} \]

Решение Используя правила интегрирования и таблицу интегралов, будем иметь:

    \[\int{\frac{2\sqrt{x}+x\cos x}{x}dx}=\int{\left( \frac{2\sqrt{x}}{x}+\frac{x\cos x}{x} \right)dx}=\int{\left( \frac{2}{\sqrt{x}}+\cos x \right)dx}=\]

    \[=\int{\frac{2}{\sqrt{x}}dx}+\int{\cos xdx}=2\int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}+\sin x=2\cdot 2\sqrt{x}+\sin x+C=4\sqrt{x}+\sin x+C\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти первообразную функции f\left( x \right)={{x}^{2}}+\sin x-13
Решение Искомая первообразная

    \[\int{f\left( x \right)dx}=\int{\left( {{x}^{2}}+\sin x-13 \right)dx}\]

Интеграл от суммы/разности функций равен сумме/разности интегралов от каждой функции, то есть

    \[\int{\left( {{x}^{2}}+\sin x-13 \right)dx}=\int{{{x}^{2}}dx}+\int{\sin xdx}-\int{13dx}\]

Согласно правилам интегрирования и таблице интегралов, имеем:

    \[\int{\left( {{x}^{2}}+\sin x-13 \right)dx}=\frac{{{x}^{2+1}}}{2+1}+\left( -\cos x \right)-13\int{dx}=\frac{{{x}^{3}}}{3}-\cos x-13x+C\]

Ответ \frac{{{x}^{3}}}{3}-\cos x-13x+C