Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям – один из способов нахождения интегралов. Этот метод применяется тогда, когда подынтегральную функцию можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых хорошо дифференцируется, а вторая – интегрируется.

Пусть u(x) и v(x) – непрерывные и дифференцируемые функции, тогда справедлива формула

    \[    \int u dv = uv - \int v du \]

она называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла и

    \[    \int _{a}^{b} u dv = uv \bigg| _{a}^{b} - \int _{a}^{b} v du \]

формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int x \ln x dx \]

Решение Для нахождения этого интеграла будем использовать метод интегрирования по частям. Положим u = \ln x \text{ },\text{ } dv = x dx ; тогда

    \[    du = \frac{dx}{x} \text{ },\text{ } v = \int x dx = \frac{x^{2}}{2} + C \]

, при этом можно положить C=0 .

Подставляя все в формулу для интегрирования по частям, получим:

    \[    \int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{dx}{x} = \frac{x^{2} \ln x}{2} - \frac{1}{2} \int x dx = \]

    \[    = \frac{x^{2} \ln x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + C = \frac{x^{2} \ln x}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти интеграл

    \[    \int (x+1) \cos x dx \]

Решение Найдем этот интеграл, используя метод интегрирования по частям. Обозначим u=x+1 \text{ },\text{ } dv = \cos x dx, тогда

    \[    du=dx \text{ },\text{ } v = \int \cos x dx = \sin x \]

Подставим полученные значения в формулу интегрирования по частям, получим:

    \[    \int (x+1) \cos x dx = (x+1) \sin x - \int \sin x dx = (x+1)\sin x + \cos x + C \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int x^{2}e^{x} dx \]

Решение Для нахождения этого интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим

u=x^{2} \text{ },\text{ } dv = e^{x} dx, тогда

    \[    du = 2x dx \text{ },\text{ } v = \int e^{x} dx = e^{x} \]

Подставляя все в формулу для интегрирования по частям для неопределенного интеграла, получим:

    \[    \int x^{2}e^{x} dx = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} dx \]

К полученному интегралу \int xe^{x} dx снова применим метод интегрирования по частям. Для него

    \[    u=x \text{ },\text{ } dv = e^{x} dx \]

    \[    du=dx \text{ },\text{ } v = \int e^{x} dx = e^{x} \]

Тогда по формуле интегрирования по частям, имеем

    \[    \int x^{2}e^{x} dx = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} dx = x^{2} e^{x} - 2 \left( x e^{x} - \int e^{x}dx \right) = x^{2} e^{x} - 2 xe^{x} + 2e^{x} +C \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Вычислить определенный интеграл

    \[    \int _{0}^{1} x \cdot 2^{x} dx \]

Решение Вычислим этот интеграл, используя метод интегрирования по частям. Положим u=x \text{ },\text{ } dv = 2^{x} dx, тогда

    \[    du=dx \text{ },\text{ } v = \int 2^{x} dx = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C \]

, будем считать C=0. Подставляя все в формулу интегрирования по частям для определенного интеграла, получим:

    \[    \int _{0}^{1} x \cdot 2^{x} dx = x \cdot \frac{2^{x}}{\ln 2} \bigg| _{0}^{1} - \int _{0}^{1} \frac{2^{x}}{\ln 2} dx = \frac{1 \cdot 2^{1} - 0 \cdot 2^{0}}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{2^{x}}{\ln 2} \bigg| _{0}^{1} = \]

    \[    = \frac{2}{\ln 2} - \frac{2^{1}-2^{0}}{\ln ^{2} 2} = \frac{2}{\ln 2} -\frac{1}{\ln ^{2} 2} = \frac{2 \ln 2 - 1}{\ln ^{2} 2} \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить интеграл

    \[    \int _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx \]

Решение Для вычисления этого интеграла будем использовать метод интегрирования по частям. Положим что

    \[    u=x \text{ },\text{ } dv = \sin x dx \]

    \[    du=dx \text{ },\text{ } v = \int \sin x dx = - \cos x + C \]

Отметим, что можно считать C=0 . Тогда подставляя все в формулу для интегрирования по частям для определенного интеграла, получим:

    \[    \int _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx = x (-\cos x) \bigg| _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} - \int _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} (-\cos x) dx = - \left( \frac{\pi}{2} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) +  \]

    \[    + \int _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = - \left( \frac{\pi}{2} \cdot 0 + \frac{\pi}{2} \cdot 0 \right) + \sin x \bigg| _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) - \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 1-(-1)=2 \]

Ответ