Примеры интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям – один из способов нахождения интегралов. Этот метод применяется тогда, когда подынтегральную функцию можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых хорошо дифференцируется, а вторая – интегрируется.

Пусть $u(x)$ и $v(x)$ – непрерывные и дифференцируемые функции, тогда справедлива формула

$\int u dv = uv - \int v du$

она называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла и

$\int _{a}^{b} u dv = uv \bigg| _{a}^{b} - \int _{a}^{b} v du$

формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int x \ln x dx$

Решение

Для нахождения этого интеграла будем использовать метод интегрирования по частям. Положим $u = \ln x \text{ },\text{ } dv = x dx$ ; тогда

$du = \frac{dx}{x} \text{ },\text{ } v = \int x dx = \frac{x^{2}}{2} + C$

, при этом можно положить $C=0$ .

Подставляя все в формулу для интегрирования по частям, получим:

$\int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{dx}{x} = \frac{x^{2} \ln x}{2} - \frac{1}{2} \int x dx =$

$= \frac{x^{2} \ln x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + C = \frac{x^{2} \ln x}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти интеграл

$\int (x+1) \cos x dx$

Решение

Найдем этот интеграл, используя метод интегрирования по частям. Обозначим $u=x+1 \text{ },\text{ } dv = \cos x dx$ , тогда

$du=dx \text{ },\text{ } v = \int \cos x dx = \sin x$

Подставим полученные значения в формулу интегрирования по частям, получим:

$\int (x+1) \cos x dx = (x+1) \sin x - \int \sin x dx = (x+1)\sin x + \cos x + C$

Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int x^{2}e^{x} dx$

Решение

Для нахождения этого интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим

$u=x^{2} \text{ },\text{ } dv = e^{x} dx$ , тогда

$du = 2x dx \text{ },\text{ } v = \int e^{x} dx = e^{x}$

Подставляя все в формулу для интегрирования по частям для неопределенного интеграла, получим:

$\int x^{2}e^{x} dx = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} dx$

К полученному интегралу $\int xe^{x} dx$ снова применим метод интегрирования по частям. Для него

$u=x \text{ },\text{ } dv = e^{x} dx$

$du=dx \text{ },\text{ } v = \int e^{x} dx = e^{x}$

Тогда по формуле интегрирования по частям, имеем

$\int x^{2}e^{x} dx = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} dx = x^{2} e^{x} - 2 \left( x e^{x} - \int e^{x}dx \right) = x^{2} e^{x} - 2 xe^{x} + 2e^{x} +C$

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Вычислить определенный интеграл

$\int _{0}^{1} x \cdot 2^{x} dx$

Решение

Вычислим этот интеграл, используя метод интегрирования по частям. Положим $u=x \text{ },\text{ } dv = 2^{x} dx$ , тогда

$du=dx \text{ },\text{ } v = \int 2^{x} dx = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$

, будем считать $C=0$ . Подставляя все в формулу интегрирования по частям для определенного интеграла, получим:

$\int _{0}^{1} x \cdot 2^{x} dx = x \cdot \frac{2^{x}}{\ln 2} \bigg| _{0}^{1} - \int _{0}^{1} \frac{2^{x}}{\ln 2} dx = \frac{1 \cdot 2^{1} - 0 \cdot 2^{0}}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{2^{x}}{\ln 2} \bigg| _{0}^{1} =$

$= \frac{2}{\ln 2} - \frac{2^{1}-2^{0}}{\ln ^{2} 2} = \frac{2}{\ln 2} -\frac{1}{\ln ^{2} 2} = \frac{2 \ln 2 - 1}{\ln ^{2} 2}$

Ответ

ПРИМЕР 5

Задание

Вычислить интеграл

$\int _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$

Решение

Для вычисления этого интеграла будем использовать метод интегрирования по частям. Положим что

$u=x \text{ },\text{ } dv = \sin x dx$

$du=dx \text{ },\text{ } v = \int \sin x dx = - \cos x + C$

Отметим, что можно считать $C=0$ . Тогда подставляя все в формулу для интегрирования по частям для определенного интеграла, получим:

$\int _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx = x (-\cos x) \bigg| _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} - \int _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} (-\cos x) dx = - \left( \frac{\pi}{2} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) +$

$+ \int _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = - \left( \frac{\pi}{2} \cdot 0 + \frac{\pi}{2} \cdot 0 \right) + \sin x \bigg| _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) - \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 1-(-1)=2$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры интегрирования по частям

Примеры