Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования основан на применении правил интегрирования и использовании табличных интегралов. В простейших примерах для применения этого метода достаточно разложить подынтегральную функцию на слагаемые и постоянные величины вынести за знак интеграла. В некоторых случаях выражение, стоящее под знаком интеграла, можно с помощью алгебраических преобразований упростить так, чтобы можно было применить указанный метод.

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл

    \[\int{\left( 6{{x}^{5}}+\frac{2}{x}-\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \right)dx}\]

Решение Раскладываем заданный интеграл на сумму интегралов:

    \[\int{\left( 6{{x}^{5}}+\frac{2}{x}-\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \right)dx}=\int{6{{x}^{5}}dx}+\int{\frac{2}{x}dx}-\int{\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx}\]

Константы выносим за знак интеграла:

    \[\int{\left( 6{{x}^{5}}+\frac{2}{x}-\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \right)dx}=6\int{{{x}^{5}}dx}+2\int{\frac{dx}{x}}-2\int{\frac{dx}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}\]

Далее применяем таблицу интегралов:

    \[\int{\left( 6{{x}^{5}}+\frac{2}{x}-\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \right)dx}=6\cdot \frac{{{x}^{6}}}{6}+2\cdot \ln \left| x \right|-2\arcsin x+C=\]

    \[={{x}^{6}}+2\cdot \ln \left| x \right|-2\arcsin x+C\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Решить интеграл

    \[\int{{{\left( {{x}^{2}}+\sqrt{x} \right)}^{2}}dx}\]

Решение Применим к подынтегральной функции формулу сокращенного умножения «квадрат суммы»:

    \[\int{{{\left( {{x}^{2}}+\sqrt{x} \right)}^{2}}dx}=\int{\left[ {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}+2\cdot {{x}^{2}}\cdot \sqrt{x}+{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}} \right]dx}=\]

    \[=\int{\left( {{x}^{4}}+2{{x}^{^{\frac{5}{2}}}}+x \right)dx}=\int{{{x}^{4}}dx}+\int{2{{x}^{^{\frac{5}{2}}}}dx}+\int{xdx}=\frac{{{x}^{5}}}{5}+2\cdot \frac{{{x}^{^{\frac{7}{2}}}}}{\frac{7}{2}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+C=\]

    \[=\frac{{{x}^{5}}}{5}+\frac{4}{7}\sqrt{{{x}^{7}}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+C\]

Ответ