Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интегралы тригонометрических функций

Интеграл от синуса равен минус косинусу плюс константа интегрирования

    \[ \int{\sin xdx}=-\cos x+C \]

Интеграл от косинуса равен синусу плюс константа интегрирования

    \[ \int{\cos xdx}=\sin x+C \]

Интеграл от тангенса равен минус логарифму натуральному косинуса плюс константа интегрирования

    \[ \int{\text{tg}\,xdx}=-\ln \left| \cos x \right|+C \]

Интеграл от котангенса равен логарифму натуральному синуса плюс константа интегрирования

    \[ \int{\text{ctg}\,xdx}=\ln \left| \sin x \right|+C \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл \int{\left( 2\sin x+x \right)dx}
Решение Согласно свойствам интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Тогда заданный интеграл перепишется в виде:

    \[\int{\left( 2\sin x+x \right)dx}=2\int{\sin xdx}+\int{xdx}\]

Интеграл от первого слагаемого

    \[\int{\sin xdx}=-\cos x+C\]

а от второго, как от степенной функции,

    \[\int{{{x}^{n}}dx}=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C\]

При n=1 будем иметь:

    \[\int{xdx}=\frac{{{x}^{2}}}{2}+C\]

Итак, искомый интеграл

    \[\int{\left( 2\sin x+x \right)dx}=2\cdot \left( -\cos x \right)+\frac{{{x}^{2}}}{2}+C=-2\cos x+\frac{{{x}^{2}}}{2}+C\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Доказать, что \int{\text{ctg}\,xdx}=\ln \sin x+C
Решение Выведем записанную формулу. Для этого преобразуем подынтегральное выражение и применим метод подстановки для нахождения неопределенного интеграла:

    \[\int{\text{ctg}\,xdx}=\int{\frac{\cos x}{\sin x}dx}\ \left\| \begin{matrix} 				  \sin x=t \\  				 \cos xdx=dt \\  				\end{matrix} \right\|=\int{\frac{dt}{t}}=\ln \left| t \right|+C=\ln \left| \sin x \right|+C\]

Что и требовалось доказать.